1. 甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,汽车离开A城的距离y(km)与时刻t的对应关系如图所示,则下列结论错误的是 (
D
)
A.甲车的平均速度为60 km/h
B.乙车的平均速度为100 km/h
C.乙车比甲车先到B城
D.乙车比甲车先出发1 h
答案：1.D
解析：
【分析】
解题时首先从函数图像中提取关键信息：纵轴为离开A城的距离，可知总路程为300km；横轴为时刻，分别找到甲、乙两车的出发时刻、到达时刻，再根据“平均速度=总路程÷行驶总时间”计算两车的平均速度，最后逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
由图像可得：A城到B城总路程为300km；
甲车5:00出发，10:00到达，行驶总时长为$10-5=5\mathrm{h}$，乙车6:00出发，9:00到达，行驶总时长为$9-6=3\mathrm{h}$。
A选项：甲车平均速度$=300÷5=60\mathrm{km/h}$，结论正确，不符合题意；
B选项：乙车平均速度$=300÷3=100\mathrm{km/h}$，结论正确，不符合题意；
C选项：乙车9:00到达B城，甲车10:00到达B城，乙车比甲车先到，结论正确，不符合题意；
D选项：甲车5:00出发，乙车6:00出发，甲车比乙车先出发1h，即乙车比甲车晚出发1h，结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
函数图像应用，平均速度计算，行程问题分析
【点评】
本题属于基础应用题，核心是从一次函数图像中准确提取时间、路程相关的有效信息，结合行程问题的基本公式进行判断即可，解题时要注意区分两车的出发和到达时间，避免看错横轴时刻出错。
【难度系数】
0.85
2.我国很多城市水资源匮乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费方式.某市居民月缴水费$y$(元)与用水量$x(\mathrm{m}^3)$之间的关系如图所示.若某户居民4月份用水$20\ \mathrm{m}^3$，则应缴水费
44
元.
答案：2.44
解析：
【分析】
这是一道结合函数图像的分段计费应用题，解题思路如下：1. 首先观察图像明确收费规则：用水量不超过$10\mathrm{m}^3$时为第一档收费，超过$10\mathrm{m}^3$的部分为第二档收费；2. 从图像中提取两个关键点：用水量$10\mathrm{m}^3$时收费18元，用水量$15\mathrm{m}^3$时收费31元，分别计算两档的收费标准，或先求出超过$10\mathrm{m}^3$部分的一次函数解析式；3. 将用水量$20\mathrm{m}^3$按收费规则分段计算，或代入解析式即可求得总水费。
【解析】
设当用水量$x≥10\mathrm{m}^3$时，水费$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$。
将图像上的两点$(10,18)$、$(15,31)$代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}10k+b=18\\15k+b=31\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=13$，解得$k=2.6$。
将$k=2.6$代入$10k+b=18$，得$26+b=18$，解得$b=-8$。
因此$x≥10$时，函数解析式为$y=2.6x-8$。
当$x=20$时，代入解析式得：
$y=2.6×20-8=52-8=44$（元）
也可分段计算：
1. 不超过$10\mathrm{m}^3$的部分水费为18元；
2. 超过$10\mathrm{m}^3$部分的单价为$(31-18)÷(15-10)=2.6$元/$\mathrm{m}^3$，$20\mathrm{m}^3$超出$10\mathrm{m}^3$的部分为$10\mathrm{m}^3$，费用为$10×2.6=26$元；
总费用为$18+26=44$元。
【答案】
44
【知识点】
一次函数的应用，分段计费问题，函数图像信息提取
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，解题核心是准确读取图像中的分段节点和对应数据，明确不同区间的收费规则，计算难度较低，只要仔细读取信息、认真计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
3.某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案,印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图所示.
(1)求甲、乙两种收费方式的函数表达式;
(2)该校某年级每次需印制320～350份学案,选择哪种收费方式较合算?
答案：3.解:(1)设甲种收费方式的函数表达式是 $y_1 = kx + b$,乙种收费方式的函数表达式是 $y_2 = k'x$.
把$(0,6),(100,16)$代入 $y_1 = kx + b$,
得$\begin{cases} b=6, \\ 100k + b=16, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=0.1, \\ b=6, \end{cases}$
$\therefore y_1 = 0.1x + 6$($x$ 为正整数).
把$(100,12)$代入 $y_2 = k'x$,解得 $k'=0.12$,
$\therefore y_2 = 0.12x$($x$ 为正整数).
(2)由题意,得
当 $y_1＞y_2$ 时,$0.1x + 6＞0.12x$,解得 $x＜300$;
当 $y_1=y_2$ 时,$0.1x + 6=0.12x$,解得 $x=300$;
当 $y_1＜y_2$ 时,$0.1x + 6＜0.12x$,解得 $x＞300$.
$\therefore$ 当 $x$ 在 $320∼ 350$ 范围内时,选择甲种收费方式较合算.
解析：
【分析】
(1) 求函数解析式使用待定系数法：甲种收费包含制版费，对应的函数为一次函数，其图像经过点(0,6)、(100,16)，设解析式为$y_1=kx+b$，代入两点坐标即可求解系数k、b；乙种收费无制版费，对应的函数为正比例函数，图像过原点和点(100,12)，设解析式为$y_2=k'x$，代入点坐标即可求解系数$k'$。
(2) 要判断印制320~350份时哪种收费方式合算，需先通过比较$y_1$和$y_2$的大小关系，分三种情况列不等式或方程，求解得到不同收费方式对应的印数范围，再判断320~350所属的范围，即可选出更优惠的方式。
【解析】
(1) 设甲种收费方式的函数表达式是 $y_1 = kx + b$，乙种收费方式的函数表达式是 $y_2 = k'x$。
把$(0,6),(100,16)$代入 $y_1 = kx + b$，
得$\begin{cases} b=6, \\ 100k + b=16, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=0.1, \\ b=6, \end{cases}$
$\therefore y_1 = 0.1x + 6$（$x$ 为正整数）。
把$(100,12)$代入 $y_2 = k'x$，解得 $k'=0.12$，
$\therefore y_2 = 0.12x$（$x$ 为正整数）。
(2) 由题意，分三种情况比较收费：
当 $y_1＞y_2$ 时，$0.1x + 6＞0.12x$，解得 $x＜300$，此时乙种更合算；
当 $y_1=y_2$ 时，$0.1x + 6=0.12x$，解得 $x=300$，此时两种收费相同；
当 $y_1＜y_2$ 时，$0.1x + 6＜0.12x$，解得 $x＞300$，此时甲种更合算。
$\because$ 印刷份数$x$在320~350范围内，均满足$x＞300$，
$\therefore$ 选择甲种收费方式较合算。
【答案】
(1) 甲种收费方式：$\boldsymbol{y_1 = 0.1x + 6}$（$x$为正整数）；乙种收费方式：$\boldsymbol{y_2 = 0.12x}$（$x$为正整数）
(2) 印制320~350份学案时，选择$\boldsymbol{甲种收费方式}$较合算。
【知识点】
待定系数法求函数解析式；一次函数的实际应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合印刷收费的生活场景，考查了一次函数解析式求解、利用不等式选择最优方案的能力，解题关键是从图像中准确提取有效坐标点，理清函数值大小与自变量取值范围的对应关系，兼具实用性和基础性。
【难度系数】
0.75
