【分析】
解题时首先回忆勾股定理的适用前提：勾股定理是直角三角形特有的三边关系定理，只有在直角三角形中才能使用“两条直角边的平方和等于斜边的平方”这一结论。因此要运用勾股定理解决问题时，首先要找到题目中现成的直角三角形，若没有则需要通过作垂线等方式构造出直角三角形，才能后续套用勾股定理进行计算或推导。
【解析】
勾股定理仅适用于直角三角形，是直角三角形三边的特殊数量关系，因此使用勾股定理探究学科内综合问题时，常需要找或者构造出直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
勾股定理的适用条件
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对勾股定理适用前提的理解，是运用勾股定理解决所有相关问题的基础，只有明确这一前提，才能避免错误地在非直角三角形中套用勾股定理。
【难度系数】
0.9

【分析】
要在数轴上表示无理数$\sqrt{10}$，核心是先构造出长度为$\sqrt{10}$的线段，再将该线段转移到数轴上。根据勾股定理，若直角三角形的两条直角边的平方和等于10，则斜边长度就是$\sqrt{10}$，易知$3^2+1^2=10$，因此我们可以构造直角边分别为3、1的直角三角形得到长为$\sqrt{10}$的线段，再用尺规作图将该长度对应到数轴正半轴即可。
【解析】
步骤如下：
1. 在数轴正半轴上找到表示3的点，记为A，此时$OA=3$（O为数轴原点）；
2. 过点A作数轴的垂线，在垂线上截取长度为1个单位的线段AB，即$AB=1$；
3. 连接OB，由勾股定理可得：$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
4. 以原点O为圆心，OB的长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为所求的点P，点P表示的数就是$\sqrt{10}$。
【答案】
如答图,点P即为所求.
【知识点】
勾股定理；数轴表示数；尺规作图
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，通过构造直角三角形将无理数转化为可直观度量的线段长度，渗透了数形结合的数学思想，有助于理解无理数的几何意义。
【难度系数】
0.8

【分析】
要证明$AB^2 - AC^2 = BD^2 - CD^2$，首先由$AD⊥BC$可知$△ ABD$和$△ ACD$均为直角三角形，我们可以先在两个直角三角形中利用勾股定理分别表示出$AB^2$和$AC^2$，再将两个表达式作差，消去公共项$AD^2$，即可推导出待证等式。
【解析】
证明：$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
$\therefore AB^2=AD^2+BD^2$，$AC^2=AD^2+CD^2$，
$\therefore AB^2-AC^2=(AD^2+BD^2)-(AD^2+CD^2)$，即$AB^2-AC^2=BD^2-CD^2$。
【答案】
$AB^2 - AC^2 = BD^2 - CD^2$，得证。
【知识点】
勾股定理、垂直的定义、等式的性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是抓住直角三角形的边长平方关系，通过作差消去公共边的平方即可完成证明，重在考察对勾股定理的理解和基础运用能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先观察题目条件，已知AC⊥BD，四边形被对角线分成了四个直角三角形，遇到直角三角形涉及边长平方的问题，首先想到运用勾股定理。我们先把待求的$AB^2+CD^2$，以及已知长度的AD、BC的平方，都用四个直角三角形的直角边（即OA、OB、OC、OD）的平方表示，再对比式子的组成就能找到等量关系，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
$\because AC⊥ BD$，
$\therefore ∠ AOB=∠ AOD=∠ BOC=∠ COD=90°$，
由勾股定理可得：
$AB^2=OA^2+OB^2$，$CD^2=OC^2+OD^2$，
$\therefore AB^2+CD^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$，
同理可得：$AD^2=OA^2+OD^2$，$BC^2=OB^2+OC^2$，
$\therefore AD^2+BC^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2$，
$\therefore AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$，
$\because AD=5,BC=2$，
$\therefore AB^2+CD^2=5^2+2^2=25+4=29$。
【答案】
29
【知识点】
勾股定理，垂直的定义
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是利用对角线互相垂直的条件，将各边的平方转化为对角线上的线段平方和，通过等量代换即可建立待求式和已知条件的联系，解题思路直接，不需要复杂的辅助线。
【难度系数】
0.8