基础题卡25 勾股定理的简单应用(1)
新知梳理
用勾股定理及其逆定理解决实际问题的关键是构造出
直角
三角形.
课堂小练
答案：直角
解析：
【分析】
首先回忆勾股定理及其逆定理的适用范围：勾股定理描述的是直角三角形三边的数量关系，仅在直角三角形中成立；勾股定理的逆定理是判定三角形是否为直角三角形的依据，二者的研究对象都与直角三角形相关。要使用这两个定理解题，首先需要把实际问题中的几何关系转化为直角三角形的相关问题，因此核心是构造出对应的直角三角形才能套用定理计算或判定。
【解析】
勾股定理的内容为直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，仅适用于直角三角形；勾股定理的逆定理为若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，作用是判定直角三角形。二者的使用都以直角三角形为载体，因此用勾股定理及其逆定理解决实际问题的关键是构造出直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【点评】
本题是基础概念类填空题，考查勾股定理及逆定理应用的前提条件，熟记定理的适用范围即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1.如图,为修建高速铁路需凿通隧道AC,测得$∠ ACB=90°$,$AB=15\ \mathrm{km}$,$BC=12\ \mathrm{km}$,若每天可凿隧道$0.3\ \mathrm{km}$,需要几天才能将隧道AC凿通?
答案：1.解:$\because ∠ ACB=90°,AB=15\ \mathrm{km},BC=12\ \mathrm{km}$,
$\therefore AC^2=AB^2-BC^2=15^2-12^2=81$,
$\therefore AC=9\ \mathrm{km},9÷0.3=30$(天).
答:需要 30 天才能将隧道 AC 凿通.
解析：
【分析】
解题时首先根据题干给出的∠ACB=90°，判断出△ACB是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，可通过勾股定理求出另一条直角边AC的长度；再结合每天的开凿进度，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”的数量关系，就能计算出凿通隧道需要的天数。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，
∴△ACB是直角三角形，
在Rt△ACB中，AB=15 km，BC=12 km，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
$\therefore AC^2 = AB^2 - BC^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$
∵AC为线段长度，取正值，
$\therefore AC=\sqrt{81}=9\ \mathrm{km}$
已知每天可凿隧道0.3 km，所需天数为：
$9÷0.3=30$（天）
【答案】
需要30天才能将隧道AC凿通。
【知识点】
勾股定理，有理数运算，工程问题计算
【点评】
本题是勾股定理的基础实际应用题，解题核心是先利用勾股定理求出隧道的总长度，再结合工作效率计算总时长，侧重考查学生对基础定理的应用能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.85
2.有一道“折竹”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺.问:折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈,中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根4尺,试问折断处离地面多高？(1丈=10尺)
答案：2.解:设折断处离地面x尺,根据题意,得
$x^2+4^2=(10-x)^2$,解得$x=4.2$.
答:折断处离地面 4.2 尺.
解析：
【分析】
解题时先将实际问题转化为直角三角形模型：竹子未折断部分、竹梢到竹根的地面距离、折断部分恰好构成直角三角形，其中未折断部分和地面距离为直角边，折断部分为斜边。我们可以设折断处离地面的高度为未知数，用含未知数的式子表示出斜边的长度，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
首先统一单位：1丈=10尺。
设折断处离地面$x$尺，则折断部分的长度为$(10-x)$尺。
根据直角三角形勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方），列方程得：
$x^2+4^2=(10-x)^2$
展开右侧得：$x^2+16=100-20x+x^2$
消去两侧$x^2$后移项计算：$20x=84$
解得：$x=4.2$
答：折断处离地面4.2尺。
【答案】
折断处离地面4.2尺
【知识点】
勾股定理、列方程解应用题
【点评】
这是勾股定理应用的经典题型，核心是把实际生活场景抽象为直角三角形几何模型，理清三边对应关系后结合方程思想即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图，在平静的湖面上，有一支红莲BA，高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面(即$AB=DB$)，已知红莲移动的水平距离$CD$为3米，则湖水深$BC$为多少米？
答案：3.解:设 BC 为h米,则$AB=BD=(h+1)$米.
由勾股定理,得$BD^2=DC^2+BC^2$,
即$(h+1)^2=3^2+h^2$,解得$h=4$.
因此湖水深 BC 为 4 米.
解析：
【分析】
解题时首先确定未知量为湖水深度BC，可通过设未知数的方式求解。首先抓住隐含等量关系：红莲的总长度不变，即被吹倒前后红莲长度AB=DB。其次观察图形可知△BCD是直角三角形，满足勾股定理的使用条件，因此可以用含未知数的式子表示出直角三角形三边的长度，代入勾股定理建立方程，解方程即可求出湖水深度。
【解析】
解：设湖水深BC为$ h $米，因为AC为1米，所以红莲总长度$ AB = BD = (h + 1) $米。
在$ \mathrm{Rt}△ BCD $中，$ ∠ BCD = 90° $，由勾股定理可得：$ BD^2 = DC^2 + BC^2 $
将对应数值代入得：$ (h + 1)^2 = 3^2 + h^2 $
展开整理得：$ h^2 + 2h + 1 = 9 + h^2 $，消去$ h^2 $后得$ 2h = 8 $，解得$ h = 4 $。
【答案】
4米
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题的核心是挖掘出“红莲长度不变”这一隐含等量关系，再结合直角三角形的性质构建方程求解，注重考查对基础定理的应用能力和审题能力。
【难度系数】
0.8
