【分析】
本题考查勾股定理逆定理的基础概念，解题思路是回忆勾股定理与逆定理的对应关系：勾股定理是已知直角三角形，得到两直角边的平方和等于斜边的平方；逆定理是反过来由三边的数量关系判断三角形是否为直角三角形，通常我们规定a、b为三角形的两条较短边，c为最长边，只需写出对应的三边平方关系即可。
【解析】
勾股定理的逆定理明确规定：如果三角形的三边长分别为a、b、c（默认c为最长边），且两条较短边的平方和等于最长边的平方，也就是$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形，因此横线处填写该关系式即可。
【答案】
$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查对定理核心内容的掌握，熟练记忆教材中的定理表述即可快速作答。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先回忆勾股数的相关概念，勾股数是针对三个正整数而言的，其核心特征是满足直角三角形三边的数量关系：两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方，通常我们约定c为三个数中最大的数，a、b为较小的两个数，由此即可推导出对应的关系式。
【解析】
根据勾股数的定义：若三个正整数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数称为勾股数。通常将三个数中最大的数记为c，另外两个较小的数记为a、b，因此三者满足的关系为$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对勾股数核心特征的记忆，只要熟练掌握相关定义即可准确作答。
【难度系数】
0.9

【分析】
要判断四组线段能否构成直角三角形，首先明确两个判断依据：①先判断三条线段能否构成三角形，需满足任意两边之和大于第三边；②若能构成三角形，再根据勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可构成直角三角形，解题时逐个分析选项即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边长$a、b、c$（$c$为最长边）满足$a^2 + b^2 = c^2$，则该三角形为直角三角形，结合三角形三边关系逐一判断：
选项A：最长边为5，计算得$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2 = 25$，即$3^2 + 4^2 = 5^2$，可以构成直角三角形；
选项B：最长边为6，计算得$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 ≠ 36$，不能构成直角三角形；
选项C：$5 + 6 = 11$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，排除；
选项D：最长边为4，计算得$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13 ≠ 16$，不能构成直角三角形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时需注意先判断三条线段能否构成三角形，再验证平方和的关系，避免忽略三边关系直接计算出错。
【难度系数】
0.9

【分析】
要判断已知三边长的三角形的形状，可运用勾股定理的逆定理，解题思路如下：第一步先找出三边中的最长边；第二步分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方；第三步比较两个计算结果：若两短边平方和等于最长边平方，为直角三角形；若两短边平方和大于最长边平方，为锐角三角形；若两短边平方和小于最长边平方，为钝角三角形。
【解析】
解：已知三角形三边长为0.3，0.4，0.5，
首先确定最长边为0.5，
计算两条短边的平方和：$0.3^2 + 0.4^2 = 0.09 + 0.16 = 0.25$，
计算最长边的平方：$0.5^2 = 0.25$，
可得$0.3^2 + 0.4^2 = 0.5^2$，
根据勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，因此该三角形是直角三角形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形形状判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查勾股定理逆定理的运用，解题关键是先确定最长边，再完成平方计算与对比，熟练掌握定理即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先观察△ABC的三边长度，先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：计算两条较短边的平方和，与最长边的平方作比较，若相等则该三角形为直角三角形，且最长边为斜边。再结合D是斜边AC中点的条件，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出BD的长度。
【解析】
解：在△ABC中，
∵AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，
∴$AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$AC^2 = 10^2 = 100$，
∴$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，AC为斜边。
又
∵D是AC边的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：
$BD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$（cm）
【答案】
5
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，再结合直角三角形的性质求解，需要熟练掌握相关基础定理。
【难度系数】
0.85

【分析】
（1）求网格中线段的平方可借助勾股定理：将所求线段看作直角三角形的斜边，两条直角边的长度分别为线段横向、纵向所占的格数，直角边的平方和就是斜边的平方，按此方法分别计算AB²、BC²、AC²即可。
（2）判断三角形形状时，在得到三边平方后，验证较小两个边的平方和是否等于最大边的平方，若满足即可根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形。
【解析】
（1）设每个小正方形的边长为1：
① 线段AB横向间隔3格，纵向间隔6格，由勾股定理得：$AB^2=3^2+6^2=9+36=45$；
② 线段BC横向间隔4格，纵向间隔2格，由勾股定理得：$BC^2=4^2+2^2=16+4=20$；
③ 线段AC横向间隔7格，纵向间隔4格，由勾股定理得：$AC^2=7^2+4^2=49+16=65$。
（2）$△ ABC$是直角三角形，理由如下：
$\because AB^2=45,BC^2=20,AC^2=65$，
$\therefore AB^2+BC^2=45+20=65=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45}$，$\boldsymbol{20}$，$\boldsymbol{65}$
(2) $△ ABC$是直角三角形，理由为$AB^2+BC^2=AC^2$，符合勾股定理的逆定理。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格类几何基础题，核心考查勾股定理及逆定理的应用，解题时需准确数出线段对应的横、纵向格数，计算出三边平方后即可快速判断三角形形状，是勾股定理章节的典型常考题。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求∠BCD的度数，可通过作辅助线连接AC，将四边形拆分为两个三角形求解：首先△ABC是等腰直角三角形，已知直角边长度，可先求出AC的长度和∠ACB的度数；再结合△ACD的三边长度，用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形，得到∠ACD的度数，最后将两个角相加即可得到∠BCD的度数。
【解析】
解：连接AC。
∵ ∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴ △ABC是等腰直角三角形，∠ACB=45°，
由勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=2^2+2^2=8$。
在△ACD中，已知$AC^2=8$，$CD=1$，$DA=3$，
∵ $AC^2+CD^2=8+1^2=9=3^2=DA^2$，
∴ 根据勾股定理的逆定理，△ACD是直角三角形，且$∠ACD=90°$，
∴ $∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+90°=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的综合应用题型，通过作辅助线将四边形转化为三角形求解是常用解题思路，体现了转化的数学思想，解题时要注意将已知条件集中到三角形中分析。
【难度系数】
0.7