【分析】
首先回忆勾股定理的常见证明思路，比如赵爽弦图、加菲尔德证法等，都用到了“算两次”的方法。“算两次”的核心逻辑是：对同一个不变的量，用两种不同方式计算得到的结果必然相等，由此可建立等式推导结论。勾股定理证明中通常会构造包含直角三角形三边的组合图形，这个图形的某一个几何量既可以整体直接计算，也可以拆成若干小图形计算后求和，结合勾股定理最终推导的是边的平方关系，和面积的计算属性匹配，就能确定这个被两次计算的量是面积。
【解析】
“算两次”方法的核心是对同一个几何量采用两种不同方式计算，二者结果相等即可建立等式。在勾股定理的常用证明方法中，我们均是对构造的组合图形的面积进行两次计算：第一种是直接计算整体图形的面积，第二种是计算组成该图形的所有小图形的面积之和，令二者相等得到等式，化简后即可推导出勾股定理，因此此处应填面积。
【答案】
面积
【知识点】
1.勾股定理的证明 2.面积和差计算
【点评】
本题考查勾股定理证明的核心方法，属于基础概念类题目，理解“算两次”法的逻辑本质即可快速作答，该方法也是几何推导中建立等量关系的常用思路。
【难度系数】
0.85

【分析】
验证勾股定理的核心思路是面积法：对同一图形，用两种不同方式表示其面积，根据面积相等列等式，若化简后可得到$a^2+b^2=c^2$，即可验证勾股定理，我们逐个分析三个图形：
1. 第一个图形：大正方形边长为$a+b$，其面积既可表示为$(a+b)^2$，也可表示为中间边长为$c$的正方形面积加4个直角边为$a,b$的直角三角形面积，列等式化简即可判断。
2. 第二个图形：大正方形边长为$c$，其面积既可表示为$c^2$，也可表示为中间小正方形面积加4个直角边为$a,b$的直角三角形面积，列等式化简即可判断。
3. 第三个图形：梯形上底为$a$、下底为$b$、高为$a+b$，其面积既可按梯形面积公式表示，也可表示为3个直角三角形的面积和，列等式化简即可判断。
【解析】
我们对三个图形分别推导：
1. 第一个图形：
大正方形面积：$S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
同时$S = c^2 + 4×\frac{1}{2}ab = c^2 + 2ab$
联立得：$a^2+2ab+b^2 = c^2 + 2ab$，化简得$a^2 + b^2 = c^2$，可以验证勾股定理。
2. 第二个图形：
大正方形面积：$S=c^2$
同时$S=(b-a)^2 + 4×\frac{1}{2}ab = a^2 - 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2$
联立得：$c^2 = a^2 + b^2$，可以验证勾股定理。
3. 第三个图形：
梯形面积：$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$
同时$S=2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$
联立得：$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2) = ab + \frac{1}{2}c^2$，两边乘2化简得$a^2 + b^2 = c^2$，可以验证勾股定理。
综上三个图形都能验证勾股定理。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的验证，面积法求面积
【点评】
本题考查勾股定理的经典验证方法，核心是通过“同一图形面积的两种不同表示”建立等式推导三边关系，熟练掌握常见图形的面积公式是解题关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题要求以x为边长的正方形的面积，本质是求$x^2$，需结合直角三角形勾股定理求解。由于题目未明确给出直角三角形的斜边，因此需要分两种情况讨论：①3为斜边，x为直角边；②x为斜边，2和3为直角边，分别计算$x^2$即可得到结果。
【解析】
以x为边长的正方形的面积为$x^2$，分两种情况计算：
1. 当3为直角三角形的斜边时，x为直角边，根据勾股定理：
$2^2 + x^2 = 3^2$
计算得：$x^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$
2. 当x为直角三角形的斜边时，2和3为直角边，根据勾股定理：
$2^2 + 3^2 = x^2$
计算得：$x^2 = 4 + 9 = 13$
因此以x为边长的正方形的面积为5或13，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，易错点是忽略直角三角形斜边的不确定性，只计算其中一种情况导致漏解，解题时需注意明确已知边的身份，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时可分两步思考：第一步，已知直角三角形的一条直角边和斜边，先利用勾股定理求出另一条直角边的长度；第二步，直角三角形的面积可以用“两条直角边乘积的一半”计算，也可以用“斜边×斜边上的高÷2”计算，利用两种计算方式得到的面积相等（等面积法），列等式即可求出斜边上的高。
【解析】
设该直角三角形的另一条直角边长为$a$，斜边上的高为$h$。
① 根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + 6^2 = 10^2$
计算得$a^2 = 100 - 36 = 64$，因为边长为正数，所以$a = 8$。
② 用两种方法计算直角三角形的面积：
方法1：$S = \frac{1}{2} × 直角边 × 另一条直角边 = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
方法2：$S = \frac{1}{2} × 斜边 × 斜边上的高 = \frac{1}{2} × 10 × h$
因为面积相等，所以$\frac{1}{2} × 10 × h = 24$，解得$h = \frac{24}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；三角形面积公式；等面积法
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是熟练掌握勾股定理的计算，以及灵活运用直角三角形面积的两种计算方法建立等量关系求解未知量。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先明确图形各部分对应的边长：直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c；中间小正方形的边长为较长直角边减较短直角边，即$(b-a)$，大正方形的边长等于直角三角形的斜边c。根据题目给出的等量关系“4个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积”，先分别计算各部分的面积，代入等量关系即可得到原式，再对原式进行整式的展开、合并同类项就能得到化简后的结果。
【解析】
1. 计算各部分面积：
单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab$；
小正方形的边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$；
大正方形的边长为$c$，面积为$c^2$。
2. 代入题中等量关系，可得：
$4× \frac{1}{2}ab+(b-a)^2=c^2$
3. 化简该式：
先展开$(b-a)^2 = b^2 - 2ab + a^2$，同时计算$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，
代入式子得：$2ab + a^2 - 2ab + b^2 = c^2$，
合并同类项后得$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
$4× \frac{1}{2}ab+(b-a)^2=c^2$；$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
勾股定理证明，整式化简，面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典面积法证明题型，需要准确拆分图形各部分的面积，结合整式运算推导结论，能帮助理解勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先观察图形可知AD是△ABC的高，将△ABC分为两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD。已知两个直角三角形的斜边AB、AC和公共直角边AD，我们可以先利用勾股定理分别求出BD、CD的长度，再根据BC是BD与CD的和，计算得到BC的总长。
【解析】
解：$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=15$，$AD=12$，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=225-144=81$，
$\therefore BD=9$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=13$，$AD=12$，由勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=13^2-12^2=169-144=25$，
$\therefore CD=5$。
$\therefore BC=BD+CD=9+5=14$。
【答案】
$14$
【知识点】
勾股定理，垂直的定义，线段和差计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题核心是识别出高分割得到的两个直角三角形，熟练运用勾股定理计算边长后求和即可，主要考察基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.8