【分析】
本题属于基础识记类题目，考查勾股定理的别称与核心内容。解题时只需回忆所学的勾股定理相关常识即可作答：第一个空对应勾股定理的国际通用别称，第二个空对应勾股定理描述的直角三角形三边的数量关系。
【解析】
勾股定理是描述直角三角形三边关系的重要定理，它在西方最早由古希腊数学家毕达哥拉斯证明，因此也被称为毕达哥拉斯定理；该定理的核心内容为：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
毕达哥拉斯定理；斜边的平方
【知识点】
勾股定理的内容；勾股定理的别称
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对勾股定理相关基础常识的记忆，是勾股定理相关知识的入门考点，熟练记忆教材相关内容即可快速答对。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查勾股定理的基本内容，解题时首先回忆直角三角形三边的数量关系：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，再结合题干给出的边的对应名称（a、b为直角边，c为斜边），直接代入写出对应的等式即可。
【解析】
根据勾股定理的定义：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知直角边长度为a、b，斜边长度为c，因此可得对应关系式：$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对勾股定理核心内容的掌握，只要牢记勾股定理的表达式就能快速作答，是勾股定理相关考点中的入门题型。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先从已知条件∠A+∠C=90°入手，结合三角形内角和为180°的性质，先求出第三个角∠B的度数，判断出△ABC是直角三角形且直角为∠B；再明确勾股定理的对应关系：直角对的边是斜边，两条直角边的平方和等于斜边的平方，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：
∵ 三角形内角和为180°，且∠A+∠C=90°
∴ ∠B = 180° - (∠A+∠C) = 180° - 90° = 90°
∴ △ABC是直角三角形，且斜边为∠B的对边b，直角边为a、c
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得
a² + c² = b²
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是先确定直角三角形的直角以及对应的斜边，再正确套用勾股定理公式，主要考查对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.85

【分析】
看到直角三角形三边的平方相关问题，优先联想到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。题目给出三边平方和的条件，我们可以把两直角边的平方和用斜边平方替换，将三边平方和转化为2倍的斜边平方，代入数值算出斜边平方后，开方取正值即可得到斜边长。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长分别为$a\ \mathrm{cm}$、$b\ \mathrm{cm}$，斜边长为$c\ \mathrm{cm}$。
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
已知三边平方和为$1800\ \mathrm{cm}^2$，即$a^2 + b^2 + c^2 = 1800$。
将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式得：$c^2 + c^2 = 1800$，化简得$2c^2 = 1800$，即$c^2 = 900$。
因为三角形边长为正数，所以$c = \sqrt{900} = 30$，即斜边长为30 cm。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、平方根运算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题核心是熟练运用勾股定理完成直角边平方和与斜边平方的替换，计算量小，是勾股定理考查的常见基础题型。
【难度系数】
0.85

【分析】
本题考查勾股定理的准确理解，解题思路是先明确勾股定理的两个核心要点：①适用前提是直角三角形；②定理内容为两条直角边的平方和等于斜边的平方，斜边是直角所对的边。接下来逐一核对每个选项是否符合这两个要点即可判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：仅说明a,b,c是三角形边长，未明确是直角三角形，也未说明c是斜边，不满足勾股定理的适用条件，因此A错误。
B选项：直角三角形中，是两条直角边的平方和等于斜边的平方，并非任意两边的平方和等于第三边的平方，表述不严谨，因此B错误。
C选项：$Rt△ABC$中$∠C=90°$，说明c是直角$∠C$所对的斜边，a、b为直角边，符合勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$的内容，因此C正确。
D选项：$Rt△ABC$中$∠B=90°$，则斜边是b，正确的关系应为$a^2 + c^2 = b^2$，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求准确掌握勾股定理的适用范围和内容，要注意结合直角顶点判断对应的斜边，避免混淆三边的对应关系。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先明确正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此题中三个正方形的面积实际对应Rt△ABC三条边的平方。已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此两个直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，代入已知数值即可求出S₃。
【解析】
设Rt△ABC中，直角边AC=a，BC=b，斜边AB=c。
根据正方形面积公式可得：
S₁=a²=6，S₂=b²=8，
∵∠ACB=90°，由勾股定理得：a²+b²=c²，
又
∵S₃是以斜边AB为边的正方形面积，即S₃=c²，
∴S₃=a²+b²=S₁+S₂=6+8=14。
【答案】
14
【知识点】
勾股定理；正方形的面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是建立正方形面积和直角三角形三边平方的对应关系，直接套用勾股定理即可求解，运算量小。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合（三线合一），由此可知底边上的高会将底边平均分为两段，这样就可以将高、腰长、半段底边转化到同一个直角三角形中，此时已知直角三角形的斜边（腰长）和一条直角边（半段底边），直接用勾股定理即可求出另一条直角边（底边上的高）。
【解析】
解：根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的高平分底边，因此底边的一半长度为：
$12÷2=6$
设底边上的高为$h$，高、腰长、半段底边构成直角三角形，其中腰长为斜边，由勾股定理可得：
$h^2 + 6^2 = 10^2$
整理得：
$h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
因为高为正数，所以$h=\sqrt{64}=8$
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查勾股定理的直接应用，解题思路如下：首先明确勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$（a、b为直角边，c为斜边）。再根据每小问给出的已知条件，选择对应的公式形式：已知两直角边求斜边，直接代入原式计算斜边；已知一直角边和斜边求另一直角边，用勾股定理的变形公式计算。最后代入数值计算时，注意三角形边长为正数，开方时仅取算术平方根即可。
【解析】
(1)
∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，$a=12$，$b=5$，
∴$c^2=a^2+b^2=12^2+5^2=144+25=169$，
∵边长为正数，
∴$c=13$。
(2)
∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，$a=3$，$c=5$，
∴$b^2=c^2-a^2=5^2-3^2=25-9=16$，
∵边长为正数，
∴$b=4$。
(3)
∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，$c=15$，$b=9$，
∴$a^2=c^2-b^2=15^2-9^2=225-81=144$，
∵边长为正数，
∴$a=12$。
【答案】
(1) $c=13$；(2) $b=4$；(3) $a=12$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的变形应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，核心是熟练掌握勾股定理的公式及常见变形，计算时要注意平方运算的准确性，同时结合边长的实际意义，开方后仅保留正根即可。
【难度系数】
0.9