【分析】
解题时先从已知直线解析式入手，先求出直线与坐标轴的交点A、B的坐标；再利用“中点的横、纵坐标分别等于对应两端点横、纵坐标的平均值”这一性质，结合B是AC中点的条件求出点C的坐标；最后由于直线OC过原点，属于正比例函数，设出解析式代入C点坐标即可求出OC的函数表达式。
【解析】
第一步：求点A、B的坐标
对于直线$y=\frac{1}{2}x+2$：
当$y=0$时，$0=\frac{1}{2}x+2$，解得$x=-4$，故点A坐标为$(-4,0)$；
当$x=0$时，$y=2$，故点B坐标为$(0,2)$。
第二步：求点C的坐标
设点C坐标为$(m,n)$，因为B是线段AC的中点，根据中点坐标规律：
中点横坐标：$\frac{-4+m}{2}=0$，解得$m=4$；
中点纵坐标：$\frac{0+n}{2}=2$，解得$n=4$。
即点C坐标为$(4,4)$。
第三步：求直线OC的解析式
直线OC过原点，设其解析式为$y=kx(k≠0)$，将$C(4,4)$代入得：
$4=4k$，解得$k=1$，故直线OC的解析式为$y=x$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数交点求法；中点坐标应用；正比例函数求解析式
【点评】
本题属于一次函数的基础综合题，核心是通过坐标运算确定未知点坐标，再求解函数解析式，熟练掌握一次函数和坐标的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路可分为四步：第一步，先求出直线$y=2x-4$与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；第二步，根据y轴平分$∠EBC$，结合y轴与x轴垂直的特点，构造全等三角形：延长BE交x轴于点D，通过角边角证明$△ AOB≌△ DOB$，得到点D的坐标；第三步，利用B、D两点坐标求出直线BD的函数解析式；第四步，点E是直线BD和直线$y=\frac{1}{2}x$的交点，联立两个解析式解方程组即可得到E点坐标。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
对于直线$y=2x-4$，令$y=0$，得$2x-4=0$，解得$x=2$，故$A(2,0)$，$OA=2$；令$x=0$，得$y=-4$，故$B(0,-4)$，$OB=4$。
2. 构造全等三角形求D点坐标：
延长BE交x轴于点D，可得$∠BOD=∠BOA=90°$。
∵y轴平分$∠EBC$，
∴$∠DBO=∠ABO$。
在$△ AOB$和$△ DOB$中：
$\begin{cases}∠ABO=∠DBO \\BO=BO \\∠BOA=∠BOD\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ DOB(\mathrm{ASA})$，
∴$OD=OA=2$，即$D(-2,0)$。
3. 求直线BD的解析式：
设直线BD的解析式为$y=kx+b$，将$B(0,-4)$代入得$b=-4$，再将$D(-2,0)$代入得$-2k-4=0$，解得$k=-2$，故直线BD的解析式为$y=-2x-4$。
4. 联立解析式求E点坐标：
∵点E在直线$y=\frac{1}{2}x$上，也在直线BD上，联立方程组：
$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x \\y=-2x-4\end{cases}$
将第一个式子代入第二个得$\frac{1}{2}x=-2x-4$，解得$x=-\frac{8}{5}$，代入$y=\frac{1}{2}x$得$y=-\frac{4}{5}$。
【答案】
$(-\dfrac{8}{5},-\dfrac{4}{5})$

【知识点】
一次函数交点求解，全等三角形判定与性质，角平分线定义
【点评】
本题是一次函数与几何结合的典型综合题，解题关键是利用角平分线的性质构造全等三角形得到未知直线上的点，通过求直线解析式、联立方程求交点，考查数形结合思想和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要判断△ABC的形状，首先需要根据直线AB的解析式求出A、B两点的坐标，结合已知的C点坐标，利用勾股定理计算出三角形三边长度的平方，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状。
(2) △BCD是以BC为腰的等腰三角形，需分两种情况讨论：①BC=BD，结合y轴垂直于x轴的性质，利用对称关系求D点坐标；②BC=CD，先算出BC的长度，再根据D在线段AC上的位置限制确定D点坐标。
(3) 由△MNC≌△AOB可得对应边CM=AB，先求出AB的长度，再分点M在C点右侧、点M在C点左侧两种情况，分别计算M点的横坐标即可得到坐标。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
对于直线$y=\frac{1}{2}x+2$，令$x=0$，得$y=2$，即$B(0,2)$；令$y=0$，得$\frac{1}{2}x+2=0$，解得$x=-4$，即$A(-4,0)$。
已知$C(1,0)$，由勾股定理可得：
$AB^2=(-4-0)^2+(0-2)^2=20$，
$BC^2=(0-1)^2+(2-0)^2=5$，
$AC^2=(-4-1)^2=25$，
因此$AC^2=AB^2+BC^2$，符合勾股定理逆定理，故△ABC为直角三角形。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$BC=BD$时，$BO⊥ AC$，因此点D与点C关于y轴对称，故$D(-1,0)$；
② 当$BC=CD$时，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，因此$CD=\sqrt{5}$，又D在线段AC上，在C点左侧，故$D(1-\sqrt{5},0)$。
综上，点D的坐标为$(-1,0)$或$(1-\sqrt{5},0)$。
(3) 由$△ MNC≌△ AOB$得$CM=AB$，$AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$：
① 当点M在C点右侧时，M的横坐标为$1+2\sqrt{5}$，即$M(1+2\sqrt{5},0)$；
② 当点M在C点左侧时，M的横坐标为$1-2\sqrt{5}$，即$M(1-2\sqrt{5},0)$。
综上，点M的坐标为$(1+2\sqrt{5},0)$或$(1-2\sqrt{5},0)$。
【答案】
3.解:(1)$△ ABC$的形状为直角三角形,理由如下:
对于$y=\dfrac{1}{2}x+2$,当$x=0$时,$y=2$,令$y=0$,则$x=-4$,
即点 A,B 的坐标分别为$(-4,0),(0,2)$,
由点 A,B,C 的坐标得,$AB^2=20$,$BC^2=5$,$AC^2=25$,
则$AC^2=AB^2+BC^2$,
$\therefore △ ABC$的形状为直角三角形.
(2)当$BC=BD$时,点 C,D 关于 y 轴对称,则点 D 的坐标为$(-1,0)$;
当$BC=CD$时,$\because B(0,2),C(1,0),\therefore OB=2,OC=1$,
$\therefore BC=\sqrt{5}$,则$CD=\sqrt{5}$,$\therefore$ 点 D 的坐标为$(1-\sqrt{5},0)$.
综上,点 D 的坐标为$(-1,0)$或$(1-\sqrt{5},0)$.
(3)如答图,当点 M 在点 C 的右侧时,

$\because △ MNC≌△ AOB,\therefore CM=AB$.
$\because A(-4,0),B(0,2),\therefore OA=4,OB=2$,
$\therefore AB=2\sqrt{5},\therefore CM=2\sqrt{5}$,
$\therefore M(1+2\sqrt{5},0)$;当点 M 在点 C 的左侧时,
同理可得,$\therefore M(1-2\sqrt{5},0)$.
综上,点 M 的坐标为$(1+2\sqrt{5},0)$或$(1-2\sqrt{5},0)$.
【知识点】
一次函数的图象与性质，勾股定理及逆定理，全等三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与三角形的综合题，解题过程中需要运用分类讨论思想，对等腰三角形的腰的情况、全等对应点的位置进行分类讨论，避免出现漏解，同时要熟练掌握坐标与线段长度的转换方法。
【难度系数】
0.6