【分析】
第一问求一次函数过的定点：定点的含义是无论参数k取何非零值，函数图象都经过该点，即点坐标代入解析式后等式与k无关，因此只需将解析式中含k的项合并，令k的系数为0消去k，即可求出定点的横、纵坐标。第二问问点一定在的直线：点的横、纵坐标都含参数a，只需消去参数a，得到x和y的固定函数关系，对应的解析式就是所求直线。
【解析】
1. 求一次函数$y=kx-2k+3(k≠0)$的定点：
对解析式变形得：$y=k(x-2)+3$，
要使式子的值与k无关，需满足k的系数为0，即$x-2=0$，解得$x=2$，
将$x=2$代入解析式，得$y=3$，
因此该一次函数图象过定点$(2,3)$。
2. 求点$(a+1,2a-3)$所在的定直线：
设该点横坐标$x=a+1$，纵坐标$y=2a-3$，
对纵坐标变形：$y=2a-3=2(a+1)-2-3=2(a+1)-5$，
将$x=a+1$代入上式，可得$y=2x-5$，
因此该点一定在直线$y=2x-5$上。
【答案】
$(2,3)$；$y=2x-5$
【知识点】
一次函数图象性质；函数定点求法；参数消元
【点评】
本题是一次函数的典型基础题型，核心是理解“定”的含义：定点与参数k无关，定直线与参数a无关，掌握合并含参项消参的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先求出直线$y=-2x+2$与坐标轴的交点$A$、$B$的坐标；接着分析点$P$的坐标特征，消去参数$m$确定点$P$所在的定直线，求出该直线与$y$轴的交点$E$，计算出$BE$的长度；再结合$m＜0$的条件判断点$P$的位置，利用割补法将$△ ABP$的面积拆分为$△ BEP$和$△ BEA$的面积之和，最后根据面积为6列方程求解$m$的值即可。
【解析】
解：1. 求$A$、$B$两点坐标：
对于直线$y=-2x+2$，
令$y=0$，得$-2x+2=0$，解得$x=1$，$\therefore A(1,0)$；
令$x=0$，得$y=2$，$\therefore B(0,2)$。
2. 确定点$P$所在直线：
$\because P(m+1,2m)$，设$x=m+1$，$y=2m$，则$m=x-1$，代入$y$得$y=2(x-1)=2x-2$，即点$P$在直线$y=2x-2$上。
3. 求直线$y=2x-2$与$y$轴交点$E$：
令$x=0$，得$y=-2$，$\therefore E(0,-2)$，则$BE=2-(-2)=4$。
4. 根据面积列方程求解：
$\because m＜0$，$\therefore$点$P$横坐标$m+1＜1$，又$S_{△ ABP}=6＞S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×4×1=2$，$\therefore$点$P$在第三象限的直线$y=2x-2$上，横坐标的绝对值为$-(m+1)$。
由割补法得$S_{△ ABP}=S_{△ BEP}+S_{△ BEA}$，代入面积公式：
$\frac{1}{2}×4×(-m-1)+\frac{1}{2}×4×1=6$
化简得$-2m=6$，解得$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一次函数交点求法；割补法求面积；一次函数点的坐标特征
【点评】
本题将一次函数性质与三角形面积计算结合，解题关键是先判断出动点$P$所在的定直线，再通过割补法将不规则三角形转化为易计算面积的图形，解题时注意结合$m＜0$的限制条件确定点的位置，避免出现增根。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要证明点Q在定直线上，可推导点Q的横/纵坐标为定值。首先先求出直线AB的解析式，得到P点横、纵坐标的数量关系；再结合OP⊥PQ且OP=PQ的条件，通过作垂线构造全等三角形，转化线段关系，推导Q点的坐标特征即可得结论。
(2) 求中点M的运动路径长，先根据Q点的坐标特征得到M点的轨迹为定直线，再找到P在起止点A、B时对应的M点位置，计算两点间的距离即为所求路径长。
【解析】
(1) 如答图，过点$P$作$CD⊥ y$轴于点$D$，过点$Q$作$QC⊥ CD$于点$C$。
设$PD=m,DO=n$,则$P(m,n)$。
$\because A(4,0),B(0,4)$，设直线$AB$的函数表达式为$y=kx+4$，
将$A(4,0)$代入得$4k+4=0$,解得$k=-1$，
$\therefore$直线$AB$的函数表达式为$y=-x+4$，
$\therefore n=-m+4$，即$m+n=4$。
$\because PD⊥ OD,PC⊥ CQ,OP⊥ PQ$，
$\therefore ∠ ODP=∠ PCQ=∠ OPQ=90°$，
$\therefore ∠ DOP+∠ DPO=∠ DPO+∠ CPQ=90°$，
$\therefore ∠ DOP=∠ CPQ$。
又$\because PQ=PO$，
$\therefore △ ODP≌ △ PCQ(\mathrm{AAS})$，
$\therefore PC=DO=n$。
$\because CD=CP+PD=m+n=4$，
$\therefore$点$Q$的横坐标恒为4，即点$Q$在确定的直线$x=4$上。
(2) 设$M(a,b)$，$\because M$是线段$OQ$的中点，$Q$的横坐标恒为4，
$\therefore a=\frac{0+4}{2}=2$，即点$M$在直线$x=2$上。
当点$P$与点$A$重合时，点$Q$坐标为$(4,-4)$，此时$M$坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0-4}{2})=(2,-2)$，记为$M_2(2,-2)$；
当点$P$与点$B$重合时，点$Q$坐标为$(4,4)$，此时$M$坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0+4}{2})=(2,2)$，记为$M_1(2,2)$。
$\therefore$点$M$运动的路径长为线段$M_1M_2$的长度，$M_1M_2=2-(-2)=4$。
【答案】
(1) 点$Q$在定直线$\boldsymbol{x=4}$上；
(2) 点$M$运动的路径长为$\boldsymbol{4}$。

【知识点】
一次函数解析式求解；全等三角形的判定与性质；动点路径计算
【点评】
本题属于一次函数综合题，将全等三角形、一次函数性质与动点轨迹问题结合，核心是通过构造全等三角形得到动点的坐标特征，进而确定定直线，再通过起止点计算路径长度，侧重考查数形结合思想和转化思想，是一次函数动点类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6