2. 阅读下列一段文字，解答问题.
【材料阅读】已知平面内两点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则由勾股定理可得，这两点间的距离为$MN=\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.
例如，已知点$M(3,1),N(1,-2)$，则$MN=\sqrt{(3 - 1)^2 + (1 + 2)^2}=\sqrt{13}$.
(1)【知识理解】已知点$P(2,4),Q(-3,-8)$，求$P,Q$两点间的距离；
(2)【知识运用】已知点$A(1,2),B(4,-2),O$是坐标原点，判断$△ AOB$是什么三角形，并说明理由；
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程，建立几何模型，求$\sqrt{x^2 + 9} + \sqrt{(16 - x)^2 + 81}$的最小值.
答案：2. 解:(1)$PQ=\sqrt{(-3-2)^2+(-8-4)^2}=13$.
(2)$△ AOB$是直角三角形,理由如下：
$\because A(1,2),O(0,0),B(4,-2),$
$\therefore OA=\sqrt{(0-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{5},$
$OB=\sqrt{(0-4)^2+(0+2)^2}=\sqrt{20},$
$AB=\sqrt{(4-1)^2+(-2-2)^2}=5,$
$\therefore OA^2+OB^2=5+20=25,AB^2=25,$
$\therefore OA^2+OB^2=AB^2,$
$\therefore △ AOB$是直角三角形.
(3)$\because \sqrt{x^2+9}=\sqrt{x^2+3^2},$
$\sqrt{(16-x)^2+81}=\sqrt{(16-x)^2+9^2}=\sqrt{(16-x)^2+(12-3)^2},$
$\therefore 可设C(x,3),D(16,12),O(0,0),$
则$OC=\sqrt{x^2+9},CD=\sqrt{(16-x)^2+81},$
$\therefore \sqrt{x^2+9}+\sqrt{(16-x)^2+81}$的最小值为$OD$的长,此时点$O,C,D$在同一条直线上.
$\because OD=\sqrt{16^2+12^2}=20,$
$\therefore \sqrt{x^2+9}+\sqrt{(16-x)^2+81}$的最小值为20.
解析：
【分析】
(1) 第一小问可直接套用题干给出的两点间距离公式，将P、Q两点的横、纵坐标分别代入公式计算即可得到结果。
(2) 第二小问判断三角形形状，首先利用两点间距离公式分别求出△AOB三边的长度，再计算三边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，即可判断三角形的类型。
(3) 第三小问是代数最值问题，需先将两个根号式转化为两点间距离的形式，把代数式转化为两条线段长度的和，再根据“两点之间线段最短”的原理，当三点共线时线段和最小，代入公式计算即可得到最小值。
【解析】
(1) 根据两点间距离公式，将$P(2,4)$，$Q(-3,-8)$代入得：
$PQ=\sqrt{(-3-2)^2+(-8-4)^2}=\sqrt{(-5)^2+(-12)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$。
(2) $△ AOB$是直角三角形，理由如下：
已知坐标原点$O$的坐标为$(0,0)$，结合$A(1,2)$、$B(4,-2)$，分别计算三边长度：
$OA=\sqrt{(0-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
$OB=\sqrt{(0-4)^2+(0+2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$，
$AB=\sqrt{(4-1)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{9+16}=5$，
则$OA^2+OB^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{20})^2=5+20=25$，$AB^2=5^2=25$，
$\therefore OA^2+OB^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ AOB$是直角三角形。
(3) 先对原式变形，将根号内的式子转化为两点距离的形式：
$\sqrt{x^2+9}=\sqrt{x^2+3^2}$，$\sqrt{(16-x)^2+81}=\sqrt{(16-x)^2+9^2}=\sqrt{(16-x)^2+(12-3)^2}$，
设点$C(x,3)$，$O(0,0)$，$D(16,12)$，根据两点间距离公式可得：
$OC=\sqrt{x^2+3^2}=\sqrt{x^2+9}$，$CD=\sqrt{(16-x)^2+(12-3)^2}=\sqrt{(16-x)^2+81}$，
$\therefore$原式$=OC+CD$，根据两点之间线段最短，当$O、C、D$三点共线时，$OC+CD$的值最小，最小值为$OD$的长度。
计算$OD$的长度：$OD=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$，
即$\sqrt{x^2 + 9} + \sqrt{(16 - x)^2 + 81}$的最小值为20。
【答案】
(1) $13$；
(2) $△ AOB$是直角三角形；
(3) $20$
【知识点】
两点间距离公式，勾股定理的逆定理，最短路径问题
【点评】
本题属于材料阅读类题型，以新定义的两点间距离公式为载体逐层设置问题，既考查了公式的基础套用能力，又考查了代数问题几何化的转化思想，对学生的知识迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
