【分析】
要求$△ ABD$的面积，已知$AB$的长度为14，只需要求出$AB$边上的高即可。观察图形可知$AD$是$∠ OAB$的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知点$D$在$y$轴上，$OD$垂直于$OA$，因此过$D$作$DE⊥ AB$于$E$，则$DE$的长度等于$OD$的长度。先根据$D$的坐标求出$OD$的长，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，
$\because$点$D$的坐标是$(0,-4)$，$\therefore OD=4$，
$\because AD$平分$∠ OAB$，$DE⊥ AB$，$DO⊥ AO$，
根据角平分线的性质可得$DE=DO=4$，
又$\because AB=14$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB · DE=\frac{1}{2} × 14 × 4=28$。
【答案】
28
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，坐标与线段长度
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质得到三角形$AB$边上的高，解题时结合平面直角坐标系的特点得到已知线段长度，再代入面积公式即可求解，解题思路清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 根据非负数的性质：绝对值和平方的结果均为非负数，若两个非负数相加得0，则两个非负数均为0，据此列方程即可求出a、b的值；
(2) 求△ABM的面积时，AB边在x轴上，先计算AB的长度，再取AB边上的高，即点M到x轴的距离，因M在第三象限，纵坐标m为负，故高为|m|=-m，代入三角形面积公式即可得到含m的表达式；
(3) 先将m=-$\frac{3}{2}$代入(2)的结论，算出△ABM的面积为3。接下来求y轴上的点P时，分两种情况讨论：点P在y轴正半轴、点P在y轴负半轴，分别用割补法表示出△BMP的面积，令其等于3，解方程求出P的纵坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 因为|a+1|≥0，(b−3)²≥0，且|a+1|+(b−3)²=0，所以a+1=0，b-3=0，解得a=-1，b=3。
(2) 如答图①，过点M作$MN ⊥ x$轴于点N。
第2题答图①
$\because A(-1,0),B(3,0),\therefore AB=3-(-1)=4$。
$\because M(-2,m)$且点M在第三象限，$\therefore MN=|m|=-m$，
$\therefore S_{△ ABM}=\frac{1}{2}AB · MN=\frac{1}{2} × 4 × (-m)=-2m$。
(3) 当$m=-\frac{3}{2}$时，$M(-2,-\frac{3}{2})$，
$\therefore S_{△ ABM}=\frac{1}{2} × 4 × \left|-\frac{3}{2}\right|=3$。
分以下两种情况：
若点P在y轴正半轴上，设点$P(0,k)$，如答图②，
$S_{△ BMP}=5 × (\frac{3}{2}+k)-\frac{1}{2} × 2 × (\frac{3}{2}+k)-\frac{1}{2} × 5 × \frac{3}{2}-\frac{1}{2} × 3 × k=\frac{5}{2}k+\frac{9}{4}$。
$\because △ BMP$的面积与$△ ABM$的面积相等，
$\therefore \frac{5}{2}k+\frac{9}{4}=3$，解得$k=0.3$，$\therefore P(0,0.3)$。
第2题答图
若点P在y轴负半轴上且在MB的下方时，如答图③，设点$P(0,n)$，
$S_{△ BMP}=-5n-\frac{1}{2} × 2 × (-n-\frac{3}{2})-\frac{1}{2} × 5 × \frac{3}{2}-\frac{1}{2} × 3 × (-n)=-\frac{5}{2}n-\frac{9}{4}$。
$\because △ BMP$的面积与$△ ABM$的面积相等，
$\therefore -\frac{5}{2}n-\frac{9}{4}=3$，解得$n=-2.1$，$\therefore P(0,-2.1)$。
综上，点P的坐标为$(0,0.3)$或$(0,-2.1)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{S_{△ABM}=-2m}$
(3) 点P的坐标为$\boldsymbol{(0,0.3)}$或$\boldsymbol{(0,-2.1)}$
【知识点】
非负数的性质，坐标系面积计算，分类讨论
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形面积问题的典型考题，综合了非负数性质、割补法求不规则图形面积等知识点，解题时需要对动点的位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 由于平方数和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此可求出a、c的值；观察点B、C的坐标可知BC平行于x轴，长度为4，BC边上的高为4，代入三角形面积公式即可求出△ABC的面积。
(2) △ABD与△BCD共底BD，两个三角形的高分别为点A、点C到y轴的距离，结合△ABC的总面积可先求出BD的长度，再利用三角形面积公式计算△BCD的面积。
(3) 点M在y轴上存在三种位置情况：在线段OB上、在点B的上方、在点O的下方，分别用含m的式子表示出△AOM和△BCM的面积，令两者相等列方程求解，舍去不符合实际位置的解即可。
(4) 过点N作平行于x轴的直线l，结合△BCN与△AON的面积倍数关系先求出点N的纵坐标，再求出直线l与AB、OC的交点坐标，结合△OCN与△ABN的面积倍数关系求出点N的横坐标，即可得到N的坐标。
【解析】
(1) $\because A(a,0),B(0,4),C(c,c)$,且$(a+2)^2+\sqrt{c-4}=0$,
$\therefore a+2=0,c-4=0,\therefore a=-2,c=4,$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 4=8.$
(2) $\because A(-2,0),B(0,4),C(4,4),S_{△ ABC}=8$,
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BD × (2+4)=3BD=8,$
$\therefore BD=\frac{8}{3},\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × 4 × \frac{8}{3}=\frac{16}{3}.$
(3) 当点M在线段OB上时,
$\because S_{△ BCM}=S_{△ AOM},$
$\therefore \frac{1}{2}BC · BM=\frac{1}{2}AO · OM,$
即$\frac{1}{2} × 4(4-m)=\frac{1}{2} × 2m$,解得$m=\frac{8}{3}$;
同理,当点M在点B上方时,$\frac{1}{2} × 4(m-4)=\frac{1}{2} × 2m$,解得$m=8$;
当点M在点O下方时,$\frac{1}{2} × 4(4-m)=\frac{1}{2} × 2(-m)$,解得$m=8$(不合题意,舍去).
综上,$m$的值为$\frac{8}{3}$或8.
(4) 如答图,过点N作直线$l // x$轴,交AB于点E,交y轴于点F,交OC于点G,
第3题答图
$\because S_{△ BCN}=2S_{△ AON},\therefore \frac{1}{2}BC · BF=2 × \frac{1}{2}AO · OF,$
即$\frac{1}{2} × 4(4-OF)=2 × \frac{1}{2} × 2OF$,
解得$OF=2$,$\therefore$点N的纵坐标为2,
$\therefore$点E的纵坐标为2,
$\therefore S_{△ ABO}=S_{△ AOE}+S_{△ BOE}=\frac{1}{2} × 2 × 2+\frac{1}{2} × 4EF=\frac{1}{2} × 2 × 4$,解得$EF=1$,
$\therefore E(-1,2)$,
同理$G(2,2),\therefore EG=3.$
$\because S_{△ OCN}=2S_{△ ABN},$
$\therefore \frac{1}{2} × NG × 2+\frac{1}{2} × NG × 2=2 × [\frac{1}{2}(3-NG) × 2+\frac{1}{2} × (3-NG) × 2]$,解得$NG=2$,
$\therefore N(0,2).$
【答案】
(1) $a=-2$，$c=4$，$△ ABC$的面积为$8$；
(2) $△ BCD$的面积为$\frac{16}{3}$；
(3) $m$的值为$\frac{8}{3}$或$8$；
(4) 点$N$的坐标为$(0,2)$， 第3题答图
【知识点】
非负数的性质，坐标系面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中图形面积的求解，涉及坐标与线段长度的转化、方程思想和分类讨论思想的应用，解题时需注意分情况讨论点的位置，避免漏解，通过作平行于坐标轴的辅助线可有效简化面积的计算过程。
【难度系数】
0.6