【分析】
解决本题首先需要明确等边三角形的基本边长，再通过列举前几次翻转后点M的对应坐标，总结出翻转的周期规律，最后结合总翻转次数推导目标点的坐标：首先过M作x轴的垂线，利用等边三角形三线合一的性质求出△OMN的边长；接着计算前3次翻转后点M的坐标，找到每3次翻转为一个循环的规律，每个循环后点M纵坐标回到初始值，横坐标增加固定值；最后用总翻转次数除以周期，根据余数判断目标点的位置，计算得到坐标即可。
【解析】
过点M作$MA ⊥ x$轴于点A，
$\because△ OMN$为等边三角形，点$M$的坐标为$(-1,\sqrt{3})$，
$\therefore OA=AN=1$，等边三角形边长$OM=ON=OA+AN=2$，
列举前几次翻转后点M的对应坐标：
翻转1次后，$M_1$坐标为$(2,0)$，相比初始点M横坐标增加了$2-(-1)=3$；
翻转2次后，$M_2$坐标为$(2,0)$，相比初始点M横坐标增加了$2-(-1)=3$；
翻转3次后，$M_3$坐标为$(5,\sqrt{3})$，相比初始点M横坐标增加了$5-(-1)=6$；
可得规律：每翻转3次为一个周期，每个周期结束后，点M的纵坐标回到初始的$\sqrt{3}$，横坐标总共增加6。
$\because 2025÷3=675$，即2025次翻转刚好完成675个完整周期，
$\therefore$点$M_{2025}$的纵坐标为$\sqrt{3}$，横坐标相比初始点M共增加$675×6=4050$，
初始点M的横坐标为$-1$，因此$M_{2025}$的横坐标为$-1+4050=4049$。
【答案】
$(4049,\sqrt{3})$

【知识点】
等边三角形的性质，坐标与图形变换，规律探究
【点评】
本题属于平面直角坐标系中的动态规律题，解题的关键是先通过枚举前几次翻转后的点坐标，归纳出翻转的周期规律，再结合周期运算求解目标点坐标，计算时要注意初始点的横坐标取值，避免运算失误。
【难度系数】
0.65

【分析】
本题是平面直角坐标系中的线段和最小值问题，解题思路如下：首先，CD在x轴上移动且长度固定为2，我们可以通过平移将BD转化为和它等长的CE，使两条线段AC、CE有公共端点C，将所求AC+BD转化为AC+CE；其次，利用轴对称的性质，作点A关于x轴的对称点A'，可得AC=A'C，进一步将线段和转化为A'C+CE；最后根据“两点之间线段最短”，可知A'C+CE的最小值就是点A'到点E的距离，计算该距离即可得到结果。
【解析】
1. 平移转化：将线段BD向左平移2个单位长度，使点D与点C重合，得到线段CE，根据平移的性质，$CE=BD$，点$B(0,3)$向左平移2个单位后对应点$E$的坐标为$(-2,3)$。
2. 对称转化：作点$A(0,2)$关于x轴的对称点$A'$，根据轴对称的性质，$AC=A'C$，点$A'$的坐标为$(0,-2)$。
3. 求最小值：此时$AC+BD=A'C+CE$，根据两点之间线段最短，$A'C+CE≥ A'E$，当且仅当$A'$、$C$、$E$三点共线时，等号成立，即$AC+BD$的最小值为线段$A'E$的长度。
4. 计算长度：根据勾股定理，$E(-2,3)$与$A'(0,-2)$的横坐标差为$0-(-2)=2$，纵坐标差的绝对值为$\left|-2-3\right|=5$，因此$A'E=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$。
【答案】
$\sqrt{29}$

【知识点】
最短路径问题，坐标与图形平移，轴对称的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中动态最值的典型题型，解题的核心是通过平移和轴对称两次转化，将分散的线段和转化为两点之间的线段长度，再结合勾股定理计算求解，很好地考查了学生的转化思想和几何作图分析能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题的核心是先明确跳马运动的坐标变化规律：从点$(x,y)$做一次跳马，坐标变为$(x\pm1,y\pm2)$或$(x\pm2,y\pm1)$，再逐小问分析：
(1) 计算各选项与$P(1,0)$的横、纵坐标差，判断是否符合跳马的变化特征即可；
(2) 先计算$P_0$到$P_2$的总坐标变化，结合两次跳马的变化量之和等于总变化量，推导$P_1$的坐标；
(3) 分析每次跳马后横纵坐标和的奇偶性变化规律，判断多少次跳跃后奇偶性和$P_0$一致，即可确定哪个点可能和$P_0$重合；
(4) 结合奇数次跳跃后坐标和的奇偶性特征，推导两点最小距离；
(5) 先根据横坐标的总变化量，求出两种向x正方向跳的跳法次数，再结合纵坐标的总变化量推导最大值。
【解析】
首先明确跳马的坐标变化规则：跳一次后，横、纵坐标的变化量为$(±1,±2)$或$(±2,±1)$。
(1) 已知$P_0(1,0)$：
点$D(-1,2)$：横坐标差为$-2$，纵坐标差为$2$，不符合跳马变化规则；
点$E(-1,-1)$：横坐标差为$-2$，纵坐标差为$-1$，符合$(x-2,y-1)$的跳马变化，符合要求；
点$F(-2,0)$：横坐标差为$-3$，纵坐标差为$0$，不符合跳马变化规则；
因此选$E$。
(2) 已知$P_0(9,3)$，$P_2(5,3)$，总横坐标变化为$5-9=-4$，总纵坐标变化为$3-3=0$。
两次跳马的横坐标变化之和为$-4$，因此每次跳马横坐标均减少$2$，对应的两次纵坐标变化一次为$+1$，一次为$-1$，和为0：
若第一次跳马纵坐标$+1$，则$P_1$坐标为$(9-2,3+1)=(7,4)$；
若第一次跳马纵坐标$-1$，则$P_1$坐标为$(9-2,3-1)=(7,2)$；
因此$P_1$为$(7,2)$或$(7,4)$。
(3) 每次跳马，横纵坐标变化量之和为$±1±2$，是奇数，因此每跳一次，点的横纵坐标和$(x+y)$的奇偶性翻转1次。
要与$P_0$重合，坐标和的奇偶性需与$P_0$一致，因此需要跳偶数次：$7$是奇数，$26$是偶数，因此可能重合的是$P_{26}$。
(4) 跳7次为奇数次，因此$P_7$与$P_0$的坐标和奇偶性不同，两点的横纵坐标差至少有一个为奇数，最小距离为两点差为$(1,0)$或$(0,1)$时的距离，即$\sqrt{1^2+0^2}=1$，且该距离可以通过7次跳马实现，因此最小值为$1$。
(5) 每步向x轴正方向跳，因此x的变化量仅为$+1$或$+2$，对应两种跳法：①x+2，y±1（A型跳）；②x+1，y±2（B型跳）。
设A型跳有$x$次，B型跳有$(21-x)$次，总横坐标变化为$38-1=37$，列方程：
$2x+(21-x)=37$，解得$x=16$，即A型跳16次，B型跳$21-16=5$次。
设A型跳中y+1的有$m$次，B型跳中y+2的有$n$次，总纵坐标变化为$10-0=10$，列方程：
$m-(16-m)+2n-2(5-n)=10$，化简得$m+2n=18$。
要纵坐标最大，所有跳跃的纵坐标均取增量无减量，因此纵坐标最大值为$18$。
【答案】
(1)$E$ (2)$(7,2)$或$(7,4)$ (3)$P_{26}$ (4)$1$ (5)$18$
【知识点】
坐标变换规律、奇偶性分析、方程思想应用
【点评】
本题以象棋跳马规则为载体，考查平面直角坐标系中点的动态变化，需要先提炼坐标变化的基本特征，再结合奇偶性、方程等知识逐步推导，对逻辑推理和分析能力要求较高，解题时需注意每一步变化的约束条件。
【难度系数】
0.3