【分析】
首先观察题干特征：△ABC是等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，遇到这类问题优先连接斜边中线AD，利用等腰直角三角形斜边中线的性质，可得到相等的边和45°的等角；再结合已知AE=CF的条件，可证明包含这两组边的△AED和△CFD全等；通过全等得到边、角的关系后，可推导△EDF的形状，最后用勾股定理即可求出DE与EF的数量关系。
【解析】
解：如图，连接AD、DF。
∵$AB=AC$，$∠BAC=90°$，D是BC边的中点，
∴$AD=DC$，$∠DAE=∠C=45°$，$∠ADC=90°$。
在$△ AED$和$△ CFD$中：
$\begin{cases}AE=CF \\∠DAE=∠C \\AD=CD\end{cases}$
∴$△ AED≌△ CFD(\mathrm{SAS})$，
∴$DE=DF$，$∠ADE=∠CDF$，
∴$∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°$，即$△ DEF$是等腰直角三角形。
由勾股定理得：$EF^2=DE^2+DF^2=2DE^2$，
∴$EF=\sqrt{2}DE$。
故选C。
【答案】
C

【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何常考的基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，通过全等转化边和角的关系，最终得到等腰直角三角形求解边长关系，能够很好地考察学生对相关几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
已知四边形中存在共顶点的等线段CB=CD，且有多个直角，要探究AB+AD与AC的数量关系，可通过构造全等三角形实现线段的转化。首先过点C向AB、AD所在直线作垂线，先得到矩形，再利用∠BCD=90°推出一组等角，结合已知CB=CD证明三角形全等，得到对应边相等，即可推得构造的四边形为正方形，再利用正方形的性质和等腰直角三角形的三边关系，将AB+AD转化为与AC相关的表达式即可得到结论。
【解析】
解：如答图，过点C作$CM⊥AB$于点M，作$CN⊥AD$，交AD的延长线于点N，
∴$∠ CMA=∠ CMB=∠ N=∠ BAD=90°$，
∴四边形AMCN是矩形，$∠ MCN=90°$，
∵$∠ BCD=90°$，
∴$∠ MCN - ∠ MCD = ∠ BCD - ∠ MCD$，即$∠ BCM=∠ DCN$。
在$△ BCM$和$△ DCN$中：
$\begin{cases}∠ CMB=∠ N=90° \\∠ BCM=∠ DCN \\CB=CD\end{cases}$
∴$△ BCM≌△ DCN(AAS)$，
∴$BM=DN$，$CM=CN$，
∴矩形AMCN是正方形，
∴$AN=AM$，$△ ACN$是等腰直角三角形，
由勾股定理得$AN^2 + CN^2 = AC^2$，即$2AN^2=AC^2$，
∴$AN=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$，
∴$AM+AN=2AN=\sqrt{2}AC$。
又
∵$AB+AD=AM+BM+AD=AM+DN+AD=AM+AN$，
∴$AB+AD=\sqrt{2}AC$。

【答案】
$AB+AD=\sqrt{2}AC$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是典型的构造全等转化线段的几何题，通过作双垂线构造全等三角形，将分散的两条线段的和转化为正方形相邻两边的和，再结合等腰直角三角形的三边关系建立与AC的联系，辅助线的构造是解题的关键。
【难度系数】
0.6

【分析】
要证明AB+AD=√3AC，首先观察结论是两条线段的和等于第三条线段的√3倍，可采用“补短法”将两条短线段拼接为一条长线段，再证明长线段与√3AC相等。已知CB=CD、∠B与∠D互补，我们可以延长AB到点E，使BE=AD，将AB+AD转化为AE；接下来证明△ADC与△EBC全等，得到AC=CE，再通过角的转化得到∠ACE=∠BCD=120°，此时△ACE是顶角为120°的等腰三角形，结合等腰三角形性质和特殊直角三角形的边长关系，即可推出AE=√3AC，完成证明。
【解析】
证明：延长AB至点E，使BE=AD，连接CE。
∵∠ABC与∠D互补，即∠ABC+∠D=180°，
又
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠CBE=∠D。
在△ADC和△EBC中：
$\begin{cases} CD=CB \\ ∠ D=∠ CBE \\ AD=BE \end{cases}$
∴△ADC≌△EBC（SAS），
∴CA=CE，∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACD=∠BCD=120°。
∵CA=CE，
∴∠CAE=∠E=(180°-120°)÷2=30°，
过C作CF⊥AE于F，在Rt△ACF中，CF=$\frac{1}{2}$AC，由勾股定理得AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC，
∴AE=2AF=√3AC，
又
∵AE=AB+BE=AB+AD，
∴AB+AD=√3AC。
【答案】
证明:如答图,延长AB至点E,使BE=AD,连接CE.
第3题答图
∵∠ABC与∠D互补,
∴∠CBE=180°−∠ABC=∠D.
又
∵CB=CD,BE=DA,
∴△ADC≌△EBC(SAS),
∴CA=CE,∠ACD=∠BCE,
∴∠ACE = ∠ACB + ∠BCE = ∠ACB + ∠ACD = ∠BCD=120°.
又
∵CA=CE,
∴∠CAE=∠E=30°,
∴$AE=\sqrt{3}AC$,
∴$AB+AD=\sqrt{3}AC$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，解题核心是利用等线段、互补角的条件构造全等三角形，将分散的线段转化到同一直线上，再结合特殊角度三角形的边长关系完成推导，对几何辅助线构造的思维能力有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.6