【分析】
解决本题分两步思考：
1. 求a、b、c的值：①根据“正数的两个平方根互为相反数，和为0”，可列关于a的一元一次方程，解方程即可得到a的值；②根据立方根的定义，若一个数的立方根是2，则这个数等于2的立方，可直接算出b的值；③要找√15的整数部分，先找15在哪两个相邻的正整数的平方之间，即可确定√15的范围，得到它的整数部分c。
2. 求代数式的平方根：先将a、b、c的值代入代数式算出结果，再根据平方根的定义求出该结果的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) 因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以：
$2a - 5 + 2a + 1 = 0$
合并同类项得：$4a - 4 = 0$，解得$a = 1$。
因为b的立方根是2，根据立方根的定义，$b = 2^3 = 8$。
因为$9 ＜ 15 ＜ 16$，所以$\sqrt{9} ＜ \sqrt{15} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{15} ＜ 4$，因此$\sqrt{15}$的整数部分是3，即$c = 3$。
综上，$a=1，b=8，c=3$。
(2) 将$a=1，b=8，c=3$代入$2a + 4b - c^2$得：
$2×1 + 4×8 - 3^2 = 2 + 32 - 9 = 25$
根据平方根的定义，25的平方根为$\pm\sqrt{25} = \pm5$，因此$2a + 4b - c^2$的平方根是$\pm5$。
【答案】
(1) $a=1，b=8，c=3$；
(2) $\pm5$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义；无理数的估算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是熟练掌握平方根、立方根的相关性质，估算无理数大小的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，求正数的平方根时注意结果有正负两个，不要漏写负根。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题思路可分为三步：①首先对a进行分母有理化，将其化为便于估算大小的形式；②通过估算$\sqrt{47}$的取值范围，确定a的整数部分，进而得到a的小数部分，再结合b的定义求出b与a的关系，得到a+b的定值；③对所求的三次代数式利用乘法公式进行恒等变形，将a+b的定值整体代入计算，即可求出结果，无需分别计算a、b的具体值，简化运算。
【解析】
第一步：分母有理化化简a：
$a=\dfrac{1}{7-\sqrt{47}}=\dfrac{7+\sqrt{47}}{(7-\sqrt{47})(7+\sqrt{47})}=\dfrac{7+\sqrt{47}}{49-47}=\dfrac{7+\sqrt{47}}{2}$
第二步：估算a的取值范围，确定a的小数部分：
∵$6^2=36$，$7^2=49$，$36＜47＜49$，
∴$6＜\sqrt{47}＜7$
∴$7+6＜7+\sqrt{47}＜7+7$，即$13＜7+\sqrt{47}＜14$
两边同时除以2得：$\dfrac{13}{2}＜\dfrac{7+\sqrt{47}}{2}＜7$，即$6.5＜a＜7$
∴a的整数部分为6，小数部分为$a-6$
第三步：根据b的定义得到a+b的定值：
∵b是a的小数部分的相反数，
∴$b=-(a-6)=6-a$，即$a+b=6$
第四步：化简代数式并整体代入求值：
利用立方和变形公式：$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$
代入原式得：
$a^3 + b^3 + 18ab=(a+b)^3-3ab(a+b)+18ab$
把$a+b=6$代入上式：
$=6^3-3ab×6+18ab=216-18ab+18ab=216$
【答案】
216
【知识点】
1.分母有理化
2.无理数的估算
3.整式化简求值
【点评】
本题综合考查了二次根式运算、无理数大小判断及整式恒等变形的应用，核心解题技巧是通过估算得到a+b的定值后整体代入计算，避免了直接代入无理数运算的繁琐，对代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决这类问题的核心思路是先通过夹逼法估算无理数的取值范围，确定其整数部分，再根据“小数部分=原数-整数部分”求出小数部分，最后结合题目要求计算或判断即可。
(1) 先找与17相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{17}$的范围，即可得到整数部分和小数部分；
(2) 先根据数轴确定点A的范围，得到整数$m$的值和小数$n$的范围，再逐一判断四个说法的正误；
(3) 先估算$\sqrt{5}$的范围，得到$6-\sqrt{5}$的范围，求出$m$、$n$的值，再代入代数式计算；
(4) 针对含负号的无理数，先估算$\sqrt{7}$的范围，得到$3-2\sqrt{7}$的范围，确定整数$a$（负数的整数部分是小于原数的最大整数），再求出$b$，代入代数式计算即可。
【解析】
(1) $\because \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$，
$\therefore \sqrt{17}$的整数部分是4，小数部分是$\sqrt{17}-4$。
(2) 由数轴可知点A在3和4之间，即$3＜A＜4$，
$\therefore$整数部分$m=3$，小数部分$n=A-3$，$n$是无理数，取值范围为$0＜n＜1$。
逐一判断：
①$n$是无理数，故①错误；
②$\sqrt{m}=\sqrt{3}$，$\because 1＜\sqrt{3}＜2$，故②正确；
③$m-n=3-n$，$\because 0＜n＜1$，$\therefore 2＜3-n＜3$，故③错误；
④$m+n=3+(A-3)=A$，$\because 3＜A＜4$，故④正确。
因此正确的是②④。
(3) $\because 2＜\sqrt{5}＜3$，
$\therefore 3＜6-\sqrt{5}＜4$，
$\therefore m=3$，$n=6-\sqrt{5}-3=3-\sqrt{5}$，
$\therefore 3m-n^2=3×3-(3-\sqrt{5})^2=9-(9-6\sqrt{5}+5)=6\sqrt{5}-5$。
(4) $\because 2.5＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore -3＜3-2\sqrt{7}＜-2$，
$\therefore a=-3$，$b=3-2\sqrt{7}-(-3)=6-2\sqrt{7}$，
$\therefore a^2+b^2=(-3)^2+(6-2\sqrt{7})^2=9+36-24\sqrt{7}+28=73-24\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $4$，$\sqrt{17}-4$
(2) ②④
(3) $6\sqrt{5}-5$
(4) $73-24\sqrt{7}$
【知识点】
无理数的估算，实数的运算，数轴的应用
【点评】
这类问题重点考查无理数的估算能力，解题关键是正确确定无理数的整数部分和小数部分，尤其要注意负数的整数部分和小数部分的求法，计算时要熟练运用完全平方公式，避免运算错误。
【难度系数】
0.7