【分析】
遇到含三角形中线的几何题，常用“倍长中线”的辅助线方法构造全等三角形，实现边、角的转移，把分散的已知条件整合到同一个图形中。本题直接求△ABC的面积缺少对应高的条件，因此我们延长AD到E使DE=AD，连接CE，先证△ABD和△ECD全等，将AB转化为CE、将直角∠BAD转移为∠E，再在Rt△ACE中用勾股定理求出AE的长度，最后通过面积转化将△ABC的面积等价为△ACE的面积计算即可。
【解析】
解：如答图，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ABD和△ECD中：
$\begin{cases} AD=ED \\ ∠ ADB=∠ EDC \\ BD=CD \end{cases}$
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴∠E=∠BAD=90°，CE=AB=6。
在Rt△ACE中，AC=10，CE=6，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∵△ABD≌△ECD，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ECD}$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=S_{△ ECD}+S_{△ ADC}=S_{△ ACE}$，
∴$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}× AE× CE=\frac{1}{2}×8×6=24$，即△ABC的面积为24。
【答案】
C

【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是中线、全等三角形、勾股定理结合的典型题型，解题核心是掌握倍长中线构造全等的辅助线技巧，通过转化思想将未知面积转化为易计算的直角三角形面积，能很好地考查学生的几何辅助线构造能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先结合角平分线的条件，利用角平分线的性质作辅助线：过点E作AB的垂线EG，可得EG=EC；再利用三角形面积和等于大三角形面积的等面积法，求出EC的长度；结合△CEF是EF为底的等腰三角形的条件，得到CF=EC，求出CF的长；接下来通过角的等量代换推导得出CD⊥AB，再次用等面积法求出直角三角形斜边上的高CD的长度，最后用CD减CF即可得到DF的长。
【解析】
如答图，过点E作EG⊥AB于点G。

∵∠ACB=90°，
∴EC⊥BC。
又
∵BE平分∠ABC，
∴EG=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
∵$S_{△ABE}+S_{△EBC}=S_{△ABC}$，
∴$\frac{1}{2}AB·EG+\frac{1}{2}CB·EC=\frac{1}{2}AC·BC$，
代入$AB=10$，$CB=6$，$AC=8$，$EG=EC$得：
$\frac{1}{2}×10·EC+\frac{1}{2}×6·EC=\frac{1}{2}×8×6$，
解得$EC=3$。
∵△CEF是以EF为底边的等腰三角形，
∴$CF=EC=3$，$∠CEF=∠CFE$。
∵$∠DFB=∠CFE$（对顶角相等），$∠CBE=∠ABE$（角平分线定义），且$∠CBE+∠CEF=90°$（直角三角形两锐角互余），
∴$∠BFD+∠DBF=90°$，
∴$∠BDF=90°$，即$CD⊥AB$。
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}CD·AB$，
∴$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$，
∴$DF=CD-CF=\frac{24}{5}-3=\frac{9}{5}$。
【答案】
$\frac{9}{5}$
【知识点】
角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，将角平分线、等腰三角形、勾股定理等知识点结合考查，解题的关键是掌握角平分线相关辅助线的作法，熟练运用等面积法求线段长度，同时需要具备一定的角的等量代换推理能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要让BP平分△ABC的面积，观察△BCP和△ABP，二者以CP、AP为底时高都等于BC的长度，根据三角形面积公式，只要底CP=AP，两个三角形面积就相等，即P为AC中点，由此可计算t。
(2) △ABP为等腰三角形时，结合P的运动范围，仅存在AP=BP的情况：作AB的垂直平分线交AC于P，可得AP=BP，设CP=t，则BP=8-t，在Rt△BCP中用勾股定理列方程即可求解t。
(3) 求PD+PB的最小值属于最短路径问题，利用轴对称性质，作B关于AC的对称点E，则PB=PE，因此PD+PB=PD+PE，当E、P、D共线且ED⊥AB时，和最小，最小值为ED的长，再用等面积法计算ED即可。
【解析】
(1) △BCP和△ABP同高（高为BC），当P为AC中点时，CP=AP，两三角形面积相等，即BP平分△ABC的面积。
已知AC=8cm，故CP=4cm，点P速度为1cm/s，因此t=4÷1=4。
(2) 如答图①，作AB的垂直平分线PD交AC于P，此时AP=BP，△ABP为等腰三角形。
设运动时间为t s，则CP=t cm，AP=(8-t)cm，因此BP=AP=(8-t)cm。
在Rt△BCP中，由勾股定理得：$t^2+6^2=(8-t)^2$，展开计算得$t^2+36=64-16t+t^2$，解得$t=\frac{7}{4}$。
(3) 存在。如答图②，作点B关于直线AC的对称点E，过E作ED⊥AB于D，交AC于P，此时PB=PE，故PD+PB=PD+PE，根据垂线段最短，最小值为ED的长。
由对称性质得BE=2BC=12cm，先计算AB的长度：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\mathrm{cm}$。
根据△AEB的面积两种计算方法：$S_{△AEB}=\frac{1}{2}BE·AC=\frac{1}{2}AB·ED$，代入得$ED=\frac{AC·BE}{AB}=\frac{8×12}{10}=9.6\mathrm{cm}$，即PD+PB的最小值为9.6cm。
【答案】
(1) 当$t=4$时，线段BP把△ABC的面积平分；
(2) 当$t=\frac{7}{4}$时，△ABP为等腰三角形；

(3) 存在，PD+PB的最小值为9.6 cm。
【知识点】
三角形面积计算，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题综合了动点、等腰三角形判定、勾股定理、最短路径等考点，将几何性质与方程思想、转化思想结合，既考查基础知识点的掌握，也考查综合分析问题的能力，是几何应用的经典题型。
【难度系数】
0.6