【分析】
(1) 要证明△ABD≌△ACE，先梳理已知条件：已知AB=AC，由旋转的性质可得AD=AE，只需证两组对应边的夹角相等即可。已知∠BAC和∠DAE均为90°，两个角同时减去公共角∠DAC，即可得到∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
(2) 探索线段平方的数量关系优先考虑勾股定理，需要将三条线段转化到同一个直角三角形中。参考(1)的全等思路，连接CE，先证△ABD≌△ACE，得到BD=CE，同时推导得∠ACE=∠B=45°，结合∠ACB=45°可推出∠BCE=90°，即△DCE为直角三角形，利用勾股定理得到DE²=CE²+CD²，再结合等腰Rt△ADE的DE²与AD的关系，替换等量后即可得到结论。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠BAC=∠DAE=90°$,
$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$,
即$∠BAD=∠CAE$.
在$△ BAD$和$△ CAE$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$.
(2) 解：数量关系为$2AD^2=BD^2+CD^2$，证明如下：
连接EC，如答图。
$\because ∠BAC=∠DAE=90°$,$\therefore ∠BAD=∠CAE$.
在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BD=CE$,$∠B=∠ACE=45°$.
又$\because ∠ACB=∠B=45°$,
$\therefore ∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°$,
在$\mathrm{Rt}△DCE$中，由勾股定理得$DE^2=CE^2+CD^2$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$DE^2=AD^2+AE^2=2AD^2$,
将$CE$替换为$BD$，可得$2AD^2=BD^2+CD^2$.
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 数量关系为$\boldsymbol{2AD^2=BD^2+CD^2}$，证明见解析。

第1题答图
【知识点】
全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，以旋转为背景，考查了全等三角形、勾股定理等知识点的应用。第一问是基础全等证明，第二问需要借助第一问的解题经验构造辅助线，将分散的线段转化到同一个直角三角形中推导数量关系，对知识的迁移运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证∠BED=∠AFD，可先利用四边形内角和与已知的两个直角，推出∠AFD与∠AED互补，再结合∠BED与∠AED互为邻补角，利用同角的补角相等即可得证。
(2) 要证BE²+CF²=EF²，符合勾股定理的结构特征，需将三条线段转移到同一个直角三角形中。可通过倍长ED构造全等三角形，把BE转化为CP，再证EF=FP，最后证明∠FCP为直角，结合勾股定理即可推导结论。
(3) 当∠ABC=45°时，△ABC为等腰直角三角形，结合D是BC中点的性质，可证△AED≌△CFD，得到DE=DF，即△DEF是等腰直角三角形，再利用(2)的结论求出EF²，结合等腰直角三角形的面积公式即可求解。
【解析】
(1) 证明:$\because DE⊥ DF$,$\therefore ∠EDF=90°$.
$\because ∠BAC=90°$,四边形AEDF内角和为$360°$,$\therefore ∠AFD+∠AED=360°-90°-90°=180°$.
$\because ∠BED+∠AED=180°$,$\therefore ∠BED=∠AFD$.
(2) 证明:如答图①,延长ED到点P,使$DP=DE$,连接FP,CP.

第2题答图①
$\because D$是BC的中点,$\therefore BD=CD$.
在$△ BED$和$△ CPD$中,$\begin{cases} ED=PD, \\ ∠EDB=∠PDC, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ BED≌△ CPD(\mathrm{SAS})$,$\therefore BE=CP$,$∠B=∠PCD$.
在$△ EDF$和$△ PDF$中,$\begin{cases} DE=DP, \\ ∠EDF=∠PDF=90°, \\ DF=DF, \end{cases}$
$\therefore △ EDF≌△ PDF(\mathrm{SAS})$,$\therefore EF=FP$.
$\because ∠BAC=90°$,$\therefore ∠B+∠ACB=90°$,$\therefore ∠ACB+∠DCP=90°$,即$∠FCP=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ FCP$中,根据勾股定理,得$CF^2+CP^2=PF^2$,
$\because BE=CP$,$PF=EF$,$\therefore BE^2+CF^2=EF^2$.
(3) 解:如答图②,连接AD,过点D作$DG⊥ EF$于点G.

第2题答图②
由题意知$△ ABC$为等腰直角三角形.
$\because D$为BC边的中点,$\therefore ∠BAD=∠FCD=45°$,$AD=BD=CD$,$AD⊥ BC$,$\therefore ∠ADF+∠FDC=90°$.
$\because DE⊥ DF$,$\therefore ∠EDA+∠ADF=90°$,$\therefore ∠EDA=∠FDC$.
在$△ AED$和$△ CFD$中,$\begin{cases} ∠EAD=∠FCD, \\ AD=CD, \\ ∠ADE=∠CDF, \end{cases}$
$\therefore △ AED≌△ CFD(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AE=CF=5$,$DE=DF$,$\therefore △ EDF$为等腰直角三角形,
$\therefore ∠DEF=∠DFE=∠EDG=∠FDG=45°$,
$\therefore DG=EG=FG$,$\therefore DG=\dfrac{1}{2}EF$.
由(2)知$EF^2=BE^2+CF^2=12^2+5^2=144+25=169$,
$\therefore S_{△ DEF}=\dfrac{1}{2}EF· DG=\dfrac{1}{2}EF· \dfrac{1}{2}EF=\dfrac{1}{4}EF^2=\dfrac{169}{4}$.
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析，对应辅助线图：；
(3) $△ DEF$的面积为$\dfrac{169}{4}$，对应辅助线图：。
【知识点】
全等三角形判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是几何综合题，核心是通过构造全等三角形实现线段的转化，既考查了基础的角相等证明，又涉及勾股定理的应用和特殊三角形的面积计算，解题时要注意前后小问的关联性，前一问的结论可直接为后一问所用，熟练掌握辅助线的构造技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6