【分析】
本题为等腰三角形角度计算问题，核心解题思路是利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和、外角性质梳理角度关系。解题时先设较小的∠A为未知数，依次将图中相关的角用该未知数表示，最后根据已知的∠CBE的度数列方程求解即可。
【解析】
设$∠ A = x$，
$\because AD = BD$，$\therefore ∠ ABD = ∠ A = x$，
根据三角形外角的性质，$∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD = 2x$，
$\because BD = BC$，$\therefore ∠ C = ∠ BDC = 2x$，
$\because BD = DE$，$\therefore ∠ DBE = ∠ DEB$，
在$△ BDE$中，$∠ BDE = ∠ BDC = 2x$，由三角形内角和定理得：
$∠ DBE = \frac{180° - ∠ BDE}{2} = \frac{180° - 2x}{2} = 90° - x$，
在$△ BDC$中，由三角形内角和定理得：
$∠ DBC = 180° - ∠ BDC - ∠ C = 180° - 2x - 2x = 180° - 4x$，
由图形可得$∠ CBE = ∠ DBC - ∠ DBE$，代入得：
$∠ CBE = 180° - 4x - (90° - x) = 90° - 3x$，
已知$∠ CBE = 18°$，$\therefore 90° - 3x = 18°$，
解得$x = 24°$。
【答案】
$24°$
【知识点】
等边对等角；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题关键是合理设未知数，通过等腰三角形性质和三角形角的关系将未知角用含未知数的式子表示，最终转化为方程求解，能有效考查角度转化能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题需结合等腰三角形性质，采用分类讨论思想求解。首先先明确△PCD的已知角：由∠ACB=150°、∠PCB=α，可得∠PCD=150°-α；再由三角尺的∠MPN=30°，可知△PCD中∠CPD=30°。由于题目未明确△PCD的腰和底边，因此需要分3种情况讨论：①PC=PD；②PD=CD；③PC=CD，分别根据等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和定理列方程求解，最后验证结果是否符合题意即可。
【解析】
先推导△PCD的内角表达式：
∵ ∠ACB=150°，∠PCB=α，
∴ ∠PCD=∠ACB - ∠PCB = 150° - α，
由三角尺的性质可得∠CPD=∠MPN=30°。
△PCD为等腰三角形，分三种情况讨论：
① 当$PC=PD$时，∠PCD=∠PDC，
根据三角形内角和为180°，得：
$∠PCD=\frac{180°-∠CPD}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
即$150°-α=75°$，解得$α=75°$；
② 当$PD=CD$时，∠PCD=∠CPD，
即$150°-α=30°$，解得$α=120°$；
③ 当$PC=CD$时，∠CDP=∠CPD=30°，
根据三角形内角和得：
$∠PCD=180°-2×30°=120°$，
即$150°-α=120°$，解得$α=30°$。
三种情况的结果均符合实际取值范围，均成立。
【答案】
$30°$或$75°$或$120°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形的相关计算，解题核心是明确等腰三角形未指定腰和底边时，需对所有可能的情况分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合题目的实际限制条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 点P沿A→B方向以1cm/s的速度运动，t秒后AP的长度为t cm，已知AB总长16cm，BP为AB减去AP的剩余长度，直接作差即可得到BP的代数式。
(2) 当Q在BC上运动时，Q沿B→C以2cm/s的速度运动，t秒后BQ=2t cm，此时△PQB中∠B=90°，若该三角形为等腰三角形，仅需两条直角边BQ=BP，列方程求解即可得到t的值。
(3) 当Q在CA上运动时，△BCQ为等腰三角形需分三类讨论：①BC为底边，对应CQ=BQ；②BQ为底边，对应CQ=BC；③CQ为底边，对应BQ=BC。分别结合等腰三角形性质、直角三角形等角对等边、面积法求高、勾股定理计算对应CQ的长度，再结合Q的总运动路程除以速度2得到对应t值，最后汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
(1) 由题意得AP = 1×t = t cm，
∵AB=16 cm，
∴BP = AB - AP = (16 - t) cm。
(2) 当Q在BC上运动时，BQ = 2×t = 2t cm，
∵∠B=90°，若△PQB为等腰三角形，则BQ=BP，即$2t=16-t$，解得$t=\frac{16}{3}$。
(3) 分三种情况讨论：
①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时，CQ=BQ，如答图①所示，
则$∠ C=∠ CBQ$，$\because ∠ ABC=90°,$
$\therefore ∠ CBQ+∠ ABQ=90°$，
$\because ∠ A+∠ C=90°,\therefore ∠ A=∠ ABQ$，
$\therefore BQ=AQ,\therefore CQ=AQ=10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC+CQ=22\ \mathrm{cm},\therefore t=22÷2=11(\mathrm{s})$。
②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时，CQ=BC，如答图②所示，
则$BC+CQ=24\ \mathrm{cm},\therefore t=24÷2=12(\mathrm{s})$。
③当△BCQ是以CQ为底边的等腰三角形时，BQ=BC，如答图③所示，过点B作BD⊥ AC于点D，则CD=DQ。
$\because \frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AC· BD$，
$\therefore \frac{1}{2}×16×12=\frac{1}{2}×20× BD,\therefore BD=\frac{48}{5}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\frac{36}{5}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CQ=2CD=\frac{72}{5}\ \mathrm{cm},BC+CQ=12+\frac{72}{5}=\frac{132}{5}(\mathrm{cm})$，
$\therefore t=\frac{132}{5}÷2=\frac{66}{5}(\mathrm{s})$。
综上所述，出发11 s、12 s或$\frac{66}{5}$ s时，△BCQ是等腰三角形。
【答案】
(1) $(16-t)\mathrm{cm}$
(2) $\frac{16}{3}$
(3) 出发11 s或12 s或$\frac{66}{5}\ \mathrm{s}$时，△BCQ是等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题是动点与等腰三角形结合的典型题型，既考察了等腰三角形判定与性质、面积法求高、勾股定理等基础知识点，又重点考察了分类讨论的数学思想，解题时需注意区分等腰三角形的腰和底边，避免漏解。
【难度系数】
0.6