【分析】
遇到角的倍半关系、垂线条件时，可利用轴对称性质构造全等三角形解题。首先借助BD⊥AC构造等腰三角形BCF，使BD为该等腰三角形的高，可得BF=BC、∠FBC=2∠DBC，结合已知∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABE推出∠ABF=∠EBC，再结合AB=BE证明△ABF≌△EBC，最后利用全等性质逐一验证4个结论即可。
【解析】
延长CD到点F，使DF=DC，连接BF。
1. 验证结论①：
∵BD⊥AC，DF=DC，
∴BD垂直平分CF，
∴BF=BC，∠FBD=∠DBC，可得∠FBC=2∠DBC。
∵∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABE，
∴∠FBC=∠ABE，等式两边同时减去公共角∠FBE，得∠ABF=∠EBC。
在△ABF和△EBC中：
$\{\begin{array}{l}AB=EB\\ ∠ ABF=∠ EBC\\ BF=BC\end{array} $
∴△ABF≌△EBC（SAS），
∴∠AFB=∠ECB。
又
∵BF=BC，BD⊥CF，
∴∠AFB=∠BCF，因此∠ECB=∠BCF，即CB平分∠DCE，结论①正确。
2. 验证结论②：
在Rt△BDC中，∠DBC+∠BCF=90°，两边同乘2得2∠DBC+2∠BCF=180°。
∵∠ABE=2∠DBC，∠DCE=∠BCF+∠ECB=2∠BCF，代入得∠ABE+∠DCE=180°，结论②正确。
3. 验证结论③④：
由△ABF≌△EBC得AF=CE，
∵CF=CD+DF=2CD，
∴AC=CF-AF=2CD-CE，故结论④正确，结论③错误。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰三角形性质，角平分线判定
【点评】
本题的解题核心是利用垂线构造轴对称的全等三角形，将分散的边、角条件转化到全等三角形中推导结论，考察了几何转化思想的应用。
【难度系数】
0.65

【分析】
遇到角平分线与边上垂线的组合时，可通过延长垂线构造等腰三角形解题：首先延长BD交AC于点E，利用角平分线定义和垂直的条件证明△BCE是等腰三角形，得到CE=BC且D是BE中点；再根据同高三角形的面积比等于底边长的比，求出△ABE的面积；最后利用中点性质，可知△ADB的面积是△ABE面积的一半，即可算出结果。
【解析】
延长 $BD$ 交 $AC$ 于点 $E$，如答图：
1. 证明△BCE为等腰三角形
$\because CD$ 平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ BCD=∠ ECD$
$\because BD ⊥ CD$，$\therefore ∠ CDB = ∠ CDE = 90°$
根据等角的余角相等可得$∠ CBD =∠ CED$，$\therefore CE=CB=8$，即$△ BCE$为等腰三角形
由等腰三角形三线合一的性质，得$BD=ED$
2. 计算线段AE长度
$AE=AC-CE=10-8=2$
3. 求$△ ABE$的面积
$△ ABE$和$△ ABC$同高，面积比等于对应底的比，即$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ABC}}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$
已知$S_{△ABC}=28$，代入得$S_{△ ABE}=\frac{1}{5} × 28=\frac{28}{5}$
4. 求$△ ADB$的面积
$\because BD=\frac{1}{2} BE$，$△ ABD$和$△ AED$同高、底相等，$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2} S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × \frac{28}{5}=\frac{14}{5}$
【答案】
$\frac{14}{5}$

【知识点】
角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角的轴对称性应用的典型题，解题核心是通过作辅助线构造等腰三角形，结合同高三角形面积与底的比例关系、中点性质逐步推导，能够有效考查几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
（1）要证BO平分∠ABC，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在该角的平分线上，因此过点O向∠ABC的两边BD、BE以及线段AC分别作垂线，结合已知OA、OC是外角平分线的条件，利用角平分线的性质可得三条垂线段相等，进而得到点O到BD、BE的距离相等，即可完成证明。
（2）已知△AOC的面积和AC的长度，先利用三角形面积公式求出点O到AC的垂线段长度，由（1）的结论可知三条垂线段长度相等，再通过分析△ABO、△BCO的面积和与已知面积的关系，求出AB与BC的和，最后加AC的长度即可得到△ABC的周长。
【解析】
(1)证明:如答图,过点 $O$ 分别作 $OF ⊥ BD,OG ⊥ AC$,$OH ⊥ BE$,垂足分别为 $F,G,H$,

$\because AO$ 平分$∠ CAD$,$CO$ 平分$∠ ACE$,
$\therefore OF=OG,OH=OG,\therefore OF=OH.$
$\because OF ⊥ BD,OH ⊥ BE,\therefore$ 点 $O$ 在$∠ ABC$ 的平分线上,即$BO$ 平分$∠ ABC.$
(2)解:$\because △ AOC$ 的面积为 $12,\therefore \frac{1}{2} AC · OG=12.$
$\because AC=6,\therefore \frac{1}{2} × 6 × OG=12,$
$\therefore OG=4,\therefore OF=OH=OG=4.$
$\because S_{△ ABO}+S_{△ BCO}=S_{△ ABC}+S_{△ AOC}=12+18=30,$
$\therefore \frac{1}{2} AB · OF + \frac{1}{2} BC · OH = 30$,即 $\frac{1}{2} AB × 4 +\frac{1}{2} BC × 4=30$,整理,得 $AB+BC=15$,
$\therefore AB+BC+AC=15+6=21$,故$△ ABC$ 的周长为 $21.$
【答案】
(1)BO平分∠ABC，证明如上；
(2)△ABC的周长为$\boldsymbol{21}$。
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线相关的典型综合题，解题的关键是作垂线构造角平分线对应的距离，结合面积法求线段和，体现了转化思想的应用，能够有效考查对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7