2026年启东中学作业本八年级数学上册苏科版宿迁专版第10页解析答案

1. 如图，$∠ AOB=30°$，C是$∠ AOB$内部的一点，且$OC=3$，D，E分别是OA，OB上的动点，则$△ CDE$周长的最小值等于（

）

A.3
B.4
C.6
D.9

答案：
1. A 点拨:如答图,作点 C 关于 OA 的对称点$C_1$,关于OB 的对称点$C_2$,连接$C_1C_2,OC_2,OC_1, \therefore CD=C_1D$,$CE=C_2E$,此时$△ CDE$的周长为$CD+DE+CE=C_1D+DE+C_2E=C_1C_2$,即当 D,E 为上述所作的交点时,$△ CDE$的周长取得最小值,最小值为$C_1C_2$的长.
$\because$点 C 与点$C_1$关于 OA 对称,点 C 与点$C_2$关于 OB 对称,
$\therefore$OA 是$CC_1$的垂直平分线,OB 是$CC_2$的垂直平分线,
$\therefore ∠ C_1OA=∠ AOC,∠ C_2OB=∠ BOC,OC_1=OC=OC_2=3$.
$\because ∠ AOB=30^{\circ },\therefore ∠ C_1OC_2=2∠ AOB=2× 30^{\circ }=60^{\circ }$.
在$△ C_1OC_2$中,$OC_1=OC_2=3,∠ C_1OC_2=60^{\circ }$,
$\therefore △ C_1OC_2$是等边三角形,
$\therefore C_1C_2=OC_1=OC_2=3$,即$△ CDE$周长的最小值为 3.

第1题答图

解析：

【分析】
本题是“一定两动”型的最短路径问题，解题时可利用轴对称性质将三角形的三条边转化为共线线段，结合“两点之间线段最短”找到周长最小的情况，再根据已知条件计算最小值。首先要作点C关于OA、OB的对称点，将CD、CE分别转化为对称点到D、E的线段，此时△CDE的周长可转化为两个对称点之间的折线段，最短值为两点连线的长度，再结合对称性质、角度关系判断三角形形状即可求出结果。
【解析】
解：作点C关于OA的对称点$C_1$，关于OB的对称点$C_2$，连接$C_1C_2$、$OC_1$、$OC_2$。
由轴对称的性质可得：$CD=C_1D$，$CE=C_2E$，$OC_1=OC=OC_2=3$，$∠ C_1OA=∠ AOC$，$∠ C_2OB=∠ BOC$。
此时$△ CDE$的周长$=CD+DE+CE=C_1D+DE+C_2E$，根据两点之间线段最短，当D、E为$C_1C_2$与OA、OB的交点时，周长取得最小值，最小值为$C_1C_2$的长度。
$\because ∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=30°$
$\therefore ∠ C_1OC_2=∠ C_1OC+∠ C_2OC=2(∠ AOC+∠ BOC)=2∠ AOB=2×30°=60°$
又$\because OC_1=OC_2=3$
$\therefore △ C_1OC_2$是等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形）
$\therefore C_1C_2=OC_1=3$，即$△ CDE$周长的最小值为3。
故选：A。
【答案】
A

【知识点】
轴对称的性质、最短路径问题、等边三角形的判定
【点评】
本题是典型的“一定两动”类将军饮马问题，核心是通过作对称点将折线和转化为两点之间的线段长，考查了转化思想的应用，需要熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7

2.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，此时∠MAN的度数为

°。

答案：
2. 60 点拨:作点 A 关于 BC 和 CD 的对称点$A',A''$,连接$A'A''$,交 BC 于点 M,交 CD 于点 N,则$A'A''$的长即为$△ AMN$周长的最小值. 作 DA 的延长线 AH,
$\because ∠ DAB=120^{\circ }$,
$\therefore ∠ HAA'=60^{\circ },\therefore ∠ AA'M+∠ A''=∠ HAA'=60^{\circ }$.
$\because ∠ MA'A=∠ MAA',∠ NAD=∠ A''$,且$∠ MA'A+∠ MAA'=∠ AMN,∠ NAD+∠ A''=∠ ANM$,
$\therefore ∠ AMN+∠ ANM=∠ MA'A+∠ MAA'+∠ NAD+∠ A''=2(∠ AA'M+∠ A'')=2× 60^{\circ }=120^{\circ }$,
$\therefore ∠ MAN=180^{\circ }-(∠ AMN+∠ ANM)=60^{\circ }$.

第2题答图

解析：

【分析】
本题属于“一定两动”型的最短路径（将军饮马）问题，解题可按三步思考：
① 转化周长：要使△AMN的周长最小，需把三条边AM、MN、AN转化为可共线的线段，利用轴对称的性质，分别作点A关于BC、CD的对称点$A'$、$A''$，可得$AM=A'M$，$AN=A''N$，此时△AMN的周长等价于$A'M+MN+A''N$；
② 确定最值位置：根据两点之间线段最短，当$A'$、$M$、$N$、$A''$四点共线时，$A'M+MN+A''N$的长度最小，等于$A'A''$的长，此时的$M$、$N$即为所求的点；
③ 计算角度：结合已知$∠BAD=120^{\circ }$，利用轴对称的角相等性质、三角形外角性质和内角和定理，即可推导得出$∠MAN$的度数。
【解析】
作点A关于BC的对称点$A'$，关于CD的对称点$A''$，连接$A'A''$，交BC于点M，交CD于点N，则$A'A''$的长即为$△AMN$周长的最小值。
作DA的延长线AH，
$\because ∠DAB=120^{\circ }$，
$\therefore ∠HAA'=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$，根据三角形外角性质可得$∠AA'M+∠A''=∠HAA'=60^{\circ }$。
由轴对称的性质可知：$∠MA'A=∠MAA'$，$∠NAD=∠A''$。
$\because ∠MA'A+∠MAA'=∠AMN$，$∠NAD+∠A''=∠ANM$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\therefore ∠AMN+∠ANM=∠MA'A+∠MAA'+∠NAD+∠A''=2(∠AA'M+∠A'')=2×60^{\circ }=120^{\circ }$。
在$△AMN$中，根据三角形内角和为$180^{\circ }$，
$\therefore ∠MAN=180^{\circ }-(∠AMN+∠ANM)=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$。

【答案】
60

【知识点】
最短路径模型、轴对称的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是最短路径问题的典型应用，通过轴对称将三角形周长的最小值转化为两点之间的线段长，再结合角的相关性质计算角度，解题的核心是掌握对称转化的思想，能灵活运用轴对称和三角形的角的性质推导求解。
【难度系数】
0.6

3.如图，A,B两处加工厂需从设在x轴上的C货站和y轴上的D货站来回调运货物，当C,D建于何处时，$AB+BC+CD+DA$的值最小？请在图中标出C,D的位置。

第3题图

答案：
3. 解:如答图,作点 B 关于 x 轴的对称点$B'$,作点 A 关于 y轴的对称点$A'$,连接$A'B'$交 x 轴于点 C,交 y 轴于点 D,此时$AB+BC+CD+DA$的值最小.

第3题答图

解析：

【分析】
首先观察所求式子$AB+BC+CD+DA$，其中线段AB的长度是固定不变的，因此要使整个式子的值最小，只需保证$BC+CD+DA$的和最小即可。我们可以利用轴对称的性质，将位于x轴两侧的BC转化为相等的线段，y轴两侧的DA转化为相等的线段，把折线$BC+CD+DA$转化为两点之间的连线，再根据“两点之间线段最短”找到最短路径对应的C、D点位置。
【解析】
1. 由于线段AB为定长，因此$AB+BC+CD+DA$的最小值等价于$BC+CD+DA$的最小值。
2. 作点B关于x轴的对称点$B'$，根据轴对称的性质，x轴上任意一点C都满足$BC=B'C$；
3. 作点A关于y轴的对称点$A'$，同理，y轴上任意一点D都满足$DA=DA'$；
4. 因此$BC+CD+DA=B'C+CD+DA'$，根据“两点之间线段最短”，当点C、D均在线段$A'B'$上时，$B'C+CD+DA'$的和最小，等于线段$A'B'$的长度。
5. 连接$A'B'$，与x轴的交点即为所求的点C，与y轴的交点即为所求的点D。
【答案】
解:如答图,作点 B 关于 x 轴的对称点$B'$,作点 A 关于 y轴的对称点$A'$,连接$A'B'$交 x 轴于点 C,交 y 轴于点 D,此时$AB+BC+CD+DA$的值最小.

第3题答图
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题是典型的两定两动型最短路径问题，解题核心是利用轴对称变换，将折线路径转化为可直接判断最短的直线段，需要熟练掌握对称点的作法和最短路径的推导逻辑，是轴对称知识在实际最值问题中的典型应用。
【难度系数】
0.7