【分析】
(1) 可通过面积法证明勾股定理：图①中四边形ACED是直角梯形，其面积既可以用梯形面积公式直接计算，也可以拆分为3个三角形的面积之和，联立两种面积表达式化简即可得到勾股定理的结论。
(2) 求AP的长度可采用方程思想：设AP为x千米，用含x的式子表示BP的长度，再根据PD=PC，结合勾股定理列方程求解即可。
(3) 求代数式最小值需结合几何模型转化：将两个二次根式分别看作两个直角三角形的斜边长，转化为线段上一点到两定点的距离和问题，利用“将军饮马”模型，作对称点后根据两点之间线段最短，构造直角三角形计算斜边即可得到最小值。
【解析】
(1) 四边形ACED为直角梯形，上底为a，下底为b，高为$AB+BD=a+b$，因此：
$S_{四边形ACED}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$
同时四边形ACED由Rt△ABC、等腰Rt△CBE、Rt△BDE组成，因此：
$S_{四边形ACED}=S_{△ABC}+S_{△CBE}+S_{△BDE}$
其中$S_{△ABC}=S_{△BDE}=\frac{1}{2}ab$，$S_{△CBE}=\frac{1}{2}c^2$，代入得：
$\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$
两边同乘2化简得：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，即$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
(2) 设$AP=x$千米，则$BP=(30-x)$千米。
∵$AD⊥AB$，$BC⊥AB$，
∴△ADP和△BCP均为直角三角形，
又
∵$PD=PC$，根据勾股定理可得：$AD^2+AP^2=BC^2+BP^2$，
代入数值：$18^2+x^2=12^2+(30-x)^2$，
展开整理得：$324+x^2=1044-60x+x^2$，
消去$x^2$解得$x=12$。
(3) $\sqrt{x^2+9}$可看作直角边为x和3的直角三角形斜边长，$\sqrt{(24-x)^2+49}$可看作直角边为$(24-x)$和7的直角三角形斜边长，即代数式表示长度为24的线段AB上一点P到点D、C的距离之和（$AD⊥AB$，$AD=7$；$BC⊥AB$，$BC=3$）。
作点C关于AB的对称点F，连接DF，由对称性质得$PC=PF$，因此$PD+PC=PD+PF$，根据两点之间线段最短，DF即为最小值。
构造Rt△DEF，其中$DE=7+3=10$，$EF=24$，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{10^2+24^2}=26$，即代数式最小值为26。
【答案】
(1) 证明：$\because S_{四边形ACED}=S_{△ABC}+S_{△CBE}+S_{△EDB},$
$\therefore \frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2,\therefore a^2+b^2=c^2.$
(2) 解：设$AP=x$千米，则$BP=(30-x)$千米.
$\because PD=PC,\therefore AD^2+AP^2=CB^2+BP^2,$
即$18^2+x^2=12^2+(30-x)^2$,解得$x=12.$
$\therefore AP=12$千米.
(3) 解：先作出点C关于AB的对称点F,连接DF,过点F作$EF⊥AD$,交DA的延长线于点E,即DF就是代数式$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(24-x)^2+49}$的最小值.
代数式$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(24-x)^2+49}$的几何意义是线段AB上一点到点D,C的距离之和,
而点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点,
从而构造出了以AB为一条直角边,AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形,斜边就是最小的值,
$\therefore$代数式$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(24-x)^2+49}$的最小值为$\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{(AD+BC)^2+AB^2}=\sqrt{10^2+24^2}=26.$
【知识点】
勾股定理证明；勾股定理应用；最短路径问题
【点评】
本题设置梯度明显，从基础定理证明到实际应用，再到代数问题的几何转化，综合考查了面积法、方程思想、数形结合思想与转化思想，需要学生掌握知识的灵活迁移能力，会将陌生的代数最值问题转化为熟悉的几何模型求解。
【难度系数】
0.6
