【分析】
首先，PQ的长度是固定值1，因此要使AP+PQ+QB最小，只需要让AP+QB的和最小即可。我们利用平移的性质，将点A沿x轴正方向平移1个单位（和PQ长度相等）得到点A'，此时AP和A'Q长度相等，AP+QB就转化为A'Q+QB，问题变为在x轴上找一点Q，让A'Q+QB的和最小。根据“两点之间线段最短”以及轴对称最短路径的解法，作点A'关于x轴的对称点A''，连接A''B，A''B与x轴的交点就是满足条件的Q点，最后求直线A''B的解析式，计算它和x轴的交点坐标即可得到Q的坐标。
【解析】
解：
∵PQ=1是定值，
∴要使AP+PQ+QB最小，只需AP+QB最小。
将点A(0,1)沿x轴正方向平移1个单位长度，得到A'(1,1)，由平移的性质可知AP=A'Q，
∴AP+QB=A'Q+QB。
作点A'关于x轴的对称点A''(1,-1)，当A''、Q、B三点共线时，A'Q+QB最小，即AP+QB最小。
设直线A''B的解析式为y=kx+b，将A''(1,-1)、B(4,2)代入解析式得：
$\{\begin{array}{l}k+b=-1\\4k+b=2\end{array} $
用第二个方程减第一个方程，得3k=3，解得k=1，
将k=1代入k+b=-1，得1+b=-1，解得b=-2，
∴直线A''B的解析式为y=x-2。
令y=0，得0=x-2，解得x=2，
∴点Q的坐标为(2,0)。
【答案】
(2,0)
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，一次函数的应用
【点评】
本题是最短路径的综合应用问题，通过平移转化定长线段，将两条线段和的最值问题转化为常见的“将军饮马”模型，再结合一次函数求交点得到坐标，解题的关键是合理利用平移将分散的线段转化为可求最值的形式。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题考查利用开方运算求解未知数的值，解题思路清晰：
(1) 对于含二次项的方程，先通过移项、系数化为1，将方程变形为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再根据平方根的定义开平方求解，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不可漏解；
(2) 对于含三次项的方程，先通过移项、合并同类项，将方程变形为$x^3=a$的形式，再根据立方根的定义开立方求解，任意数的立方根只有1个，不会出现多解情况。
【解析】
(1) 解：$5x^2 - 10 = 0$
移项得：$5x^2 = 10$
系数化为1得：$x^2 = 2$
由平方根的定义可得：$x=\pm\sqrt{2}$
即$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(2) 解：$x^3 - 2 = 6$
移项得：$x^3 = 6 + 2$
合并同类项得：$x^3 = 8$
由立方根的定义可得：$x=\sqrt[3]{8}=2$
【答案】
9.(1)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(2)$2$
【知识点】
平方根的运算、立方根的运算、等式的性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查平方根与立方根的性质区别，解题时只要仔细区分两者的不同，注意平方根的多解性，即可顺利得分。
【难度系数】
0.85

【分析】
(1) 两个一次函数图象都经过点P(-2,-5)，函数图象上的点坐标满足函数解析式，因此用待定系数法，将P点坐标分别代入两个函数表达式，就能求出未知系数b和a，得到两个函数的解析式。
(2) 求△ABP的面积，首先要确定A、B两点坐标：A、B是两个函数与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，分别令两个函数的y=0，解出对应的x值即可得到A、B坐标，进而求出AB的长度；△ABP的高是点P到x轴的距离，即P点纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
(3) 不等式$2x+b＞ax-3$的几何意义是$y_1$的图象在$y_2$图象上方时对应的x的取值范围，结合两个函数交点的横坐标和图象走势，就能直接写出解集。
【解析】
(1) 将点$P(-2,-5)$代入$y_1=2x+b$，得：
$-5=2×(-2)+b$
解得$b=-1$，因此$y_1=2x-1$。
将点$P(-2,-5)$代入$y_2=ax-3$，得：
$-5=-2a-3$
解得$a=1$，因此$y_2=x-3$。
∴两个函数的表达式分别为$y_1=2x-1$，$y_2=x-3$。
(2) 在$y_1=2x-1$中，令$y=0$，即$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，
∴$A(\frac{1}{2},0)$。
在$y_2=x-3$中，令$y=0$，即$x-3=0$，解得$x=3$，
∴$B(3,0)$。
$AB$的长度为$3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，点P到x轴的距离为$|-5|=5$，
∴$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×5=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×5=\frac{25}{4}$。
(3) 观察图象可知，当$x＞-2$时，$y_1=2x+b$的图象在$y_2=ax-3$图象的上方，因此不等式$2x+b＞ax-3$的解集为$x＞-2$。
【答案】
(1) $y_1=2x-1$，$y_2=x-3$；
(2) $\dfrac{25}{4}$；
(3) $x＞-2$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与坐标轴交点；一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数基础综合题，将解析式求解、图形面积计算、不等式解集判断结合考查，核心是运用数形结合思想，将函数表达式、图象、代数关系对应起来，是一次函数章节的经典常规题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要判断AF与BC的数量关系，可通过证明三角形全等推导：已知∠BAC=45°，BE⊥AC，可得△ABE是等腰直角三角形，即AE=BE；再结合AD⊥BC、BE⊥AC，利用同角的余角相等推出∠EAF=∠EBC，即可证明△AEF≌△BEC，得到AF=BC。
(2) 猜想AF=2BD，首先沿用(1)的结论得AF=BC；再根据已知内角计算∠C的度数，可得∠ABC=∠C，即△ABC为等腰三角形，结合AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一的性质得BC=2BD，等量代换即可得到结论。
(3) 要求△ABC的面积，已知AD是BC边上的高，只需先求出BC的长度即可。参考前两问的几何模型，延长AD到E使DE=AD，结合∠BAC=45°的条件，可得BC=AE=2AD，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEF=∠BEC=∠ADB=90°，
∴∠EAF+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠EAF=∠EBC。
∵∠BAC=45°，BE⊥AC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE。
在△AEF和△BEC中，$\{\begin{array}{l}∠EAF=∠EBC\\ AE=BE\\ ∠AEF=∠BEC\end{array} $，
∴△AEF≌△BEC(ASA)，
∴AF=BC。
(2) AF=2BD，理由如下：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，
又
∵∠AFE=∠DFB，
∴∠EAF=∠EBC。
∵BE⊥AC，∠BAC=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∴△AEF≌△BEC(ASA)，
∴AF=BC。
∵∠BAC=45°，∠ABC=67.5°，
∴∠C=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC。
又
∵AD⊥BC，
∴D为BC中点，即BC=2BD，
∴AF=2BD。
(3) 如答图，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE，延长AB交CE于点G。
由(2)的结论可知BC=AE=2AD=2×3=6，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×6×3=9$。
【答案】
(1) =
(2) AF=2BD，理由见解析；
(3) $△ ABC$的面积为9

【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何探究类题目，由特殊到一般设置问题，既考查了全等三角形、等腰三角形的核心知识点，也考查了类比迁移、构造辅助线的能力，解题时要注意活用前问得到的结论，简化后问的推导过程。
【难度系数】
0.6