【分析】
解题思路如下：1. 看到DE垂直AB且D是AB中点，可知DE是AB的垂直平分线，因此连接AE、BE，可得AE=BE；2. 已知∠ACE+∠BCE=180°，结合平角定义，可得CE是∠BCG（G为AC延长线上的点）的角平分线，因此过E作EG⊥AC交AC延长线于G，根据角平分线性质得EG=EF，且可证CG=CF；3. 证明Rt△AEG≌Rt△BEF，得到AG=BF，设CF=CG=x，用含x的式子表示AG和BF，列方程求解即可得到BF的长。
【解析】
解：连接AE、BE，过点E作EG⊥AC，交AC的延长线于点G。
1. 因为D为AB的中点，DE⊥AB，所以DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，得AE=BE。
2. 已知∠ACE+∠BCE=180°，又∠ACE+∠GCE=180°（平角定义），所以∠GCE=∠BCE，即CE平分∠GCF。
因为EF⊥BC，EG⊥AC，根据角平分线的性质，得EG=EF，且∠G=∠BFE=90°。
3. 在Rt△EGC和Rt△EFC中：
$\{\begin{array}{l}EC=EC\\EG=EF\end{array} $
所以Rt△EGC≌Rt△EFC（HL），因此CG=CF。
4. 在Rt△AEG和Rt△BEF中：
$\{\begin{array}{l}AE=BE\\EG=EF\end{array} $
所以Rt△AEG≌Rt△BEF（HL），因此AG=BF。
5. 设CF=CG=x，则AG=AC+CG=8+x，BF=BC-CF=12-x，
由AG=BF列方程：$8+x=12-x$，
解得$x=2$，
所以BF=12-2=10。
【答案】
10
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题的解题核心是合理构造辅助线，结合垂直平分线、角平分线的性质得到相等的线段，再通过全等三角形建立等量关系，通过列方程求解线段长度，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要证明BD⊥AC，只需证明∠BDC=90°即可。先根据已知的AC和AD长度求出CD的长度，再结合BD、BC的长度，利用勾股定理的逆定理验证BD²+CD²是否等于BC²，若相等则△BDC为直角三角形，∠BDC=90°，即可得证。
(2) 根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”的性质，可知当DE⊥AB时，DE的长度最小。先利用勾股定理求出AB的长度，再通过直角三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式，即可求出DE的最小值。
【解析】
(1) 证明：
$\because AC=21,AD=16,$
$\therefore CD=AC-AD=21-16=5.$
$\because BD=12,BC=13,$
$\therefore BD^{2}+CD^{2}=12^{2}+5^{2}=169=BC^{2},$
根据勾股定理的逆定理可得$△ BDC$是直角三角形，且$∠ BDC=90^{\circ }$,
$\therefore BD\bot AC.$
(2) 解：
根据垂线段最短的性质，当$DE\bot AB$时，线段$DE$长度的值最小。
由(1)知$∠ ADB=90^{\circ }$，$△ ABD$是直角三角形,
$\therefore AB=\sqrt {AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt {16^{2}+12^{2}}=20.$
又$\because △ ABD$的面积可表示为$\frac {1}{2}AD· DB$，也可表示为$\frac {1}{2}AB· DE,$
$\therefore \frac {1}{2}×16×12=\frac {1}{2}×20×DE,$
解得$DE=\frac {16×12}{20}=9.6,$
即线段DE长度的最小值为9.6。
【答案】
(1) 已证$BD\bot AC$；
(2) 线段$DE$长度的最小值为$\boldsymbol{9.6}$。
【知识点】
勾股定理逆定理，垂线段最短，等面积法求高
【点评】
本题将勾股定理及逆定理和垂线段性质结合考查，其中利用等面积法计算直角三角形斜边上的高是非常常用的解题技巧，掌握该方法能快速解决同类求线段最值、长度的问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 求四边形AEDF的周长：已知AD是高，故△ABD、△ACD均为直角三角形，E、F分别是AB、AC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DE=AE=½AB，DF=AF=½AC，因此四边形周长可转化为AB+AC直接计算。
(2) 判断EF与AD的位置关系：由(1)得AE=DE、AF=DF，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知E、F都在AD的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此EF是AD的垂直平分线，即可得到EF与AD垂直的结论。
(3) 求四边形AEDF的最大面积：由中点性质可得△BED面积是△ABD的一半，△CFD面积是△ACD的一半，因此四边形AEDF的面积等于△ABC面积的一半，要使四边形面积最大，只需△ABC面积最大，当AB⊥AC时△ABC面积最大，代入计算即可得结果。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵E是AB的中点，F是AC的中点，
∴在Rt△ABD中，DE=AE=½AB=½×8=4，
在Rt△ACD中，DF=AF=½AC=½×6=3，
∴四边形AEDF的周长=AE+DE+AF+DF=4+4+3+3=14。
(2) EF⊥AD，证明如下：
由(1)可知AE=DE，AF=DF，
∴点E、点F都在线段AD的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴直线EF是线段AD的垂直平分线，
∴EF⊥AD。
(3)
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴S△BED=½S△ABD，S△CFD=½S△ACD，
∴S四边形AEDF=S△ABC - S△BED - S△CFD=S△ABC - ½(S△ABD+S△ACD)=½S△ABC，
要使四边形AEDF面积最大，需S△ABC最大，当AB⊥AC时△ABC面积最大，最大值为½×8×6=24，
∴四边形AEDF的最大面积为½×24=12。
【答案】
(1) 14；(2) EF⊥AD；(3) 12
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；线段垂直平分线判定；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、垂直平分线判定及面积最值推导，前两问为基础性质的直接应用，第三问需要将四边形面积转化为三角形面积的一半再求解最值，对知识的灵活应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 首先由矩形性质得到CB=OA=10，结合翻折的性质可知CB'=CB=10，在Rt△OCB'中利用勾股定理计算OB'的长度，即可得到B'的坐标；
(2) 求CM的函数表达式需要先求点M的坐标：设AM=x，可得BM=6-x，由翻折性质得B'M=BM=6-x，先求出B'A=2，再在Rt△AB'M中用勾股定理列方程求出x，得到M点坐标，最后结合C点坐标用待定系数法即可求出CM的解析式；
(3) △B'CP以B'P为底时，高为OC的长度6，根据面积公式列方程求出B'P的长度，再分点P在B'的左侧、右侧两种情况，即可求出P的坐标。
【解析】
(1)
∵四边形OABC是矩形，
∴CB=OA=10，∠COB'=90°。
由翻折性质得CB'=CB=10，在Rt△OCB'中，OC=6，由勾股定理得：
$OB'=\sqrt{CB'^2-OC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∵B'在x轴正半轴上，
∴B'坐标为$(8,0)$。
(2) 设$AM=x$，
∵$AB=OC=6$，
∴$BM=AB-AM=6-x$。
∵$OA=10$，$OB'=8$，
∴$B'A=OA-OB'=2$。
由翻折性质得$B'M=BM=6-x$，在Rt△AB'M中，由勾股定理得：
$B'A^2+AM^2=B'M^2$，即$2^2+x^2=(6-x)^2$，
解得$x=\frac{8}{3}$，
∴$M(10,\frac{8}{3})$。
设CM的函数表达式为$y=kx+b$，将$C(0,6)$、$M(10,\frac{8}{3})$代入得：
$\begin{cases} 6=b \\ \frac{8}{3}=10k+b \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-\frac{1}{3} \\ b=6 \end{cases}$，
∴折痕CM所在直线的函数表达式为$y=-\frac{1}{3}x+6$。
(3) 存在。设点P坐标为$(p,0)$，则$B'P=|p-8|$，
△B'CP以B'P为底时，高为OC=6，由题意得：
$\frac{1}{2} × B'P × OC=12$，即$\frac{1}{2} × |p-8| × 6=12$，
化简得$|p-8|=4$，解得$p=12$或$p=4$，
∴点P的坐标为$(12,0)$或$(4,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(8,0)}$
(2) $\boldsymbol{y=-\frac{1}{3}x+6}$
(3) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(12,0)}$或$\boldsymbol{(4,0)}$
【知识点】
翻折的性质、勾股定理的应用、待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是几何与函数的综合基础题，结合了矩形、翻折变换、一次函数、三角形面积的相关知识，解题时要注意翻折前后对应边相等的应用，第三问需分情况讨论点P的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7