【分析】
首先根据等腰直角三角形的性质得到两组边相等，再通过角的等量关系推出夹角相等，证明△ACD和△BCE全等，由全等得到对应角相等，进而推导得出AD与BE互相垂直，最后借助勾股定理把待求的$AD^2+BE^2$转化为两个等腰直角三角形的斜边平方和，代入边长计算即可。
【解析】
解：设AD、BE交于点O。
∵ $△ ABC$和$△ DCE$都是等腰直角三角形，$∠ ACB=∠ DCE=90°$
∴ $AC=BC=2$，$DC=EC=3$，$∠ CAB=∠ CBA=45°$
∵ $∠ ACB+∠ ACE=∠ DCE+∠ ACE$，即$∠ BCE=∠ ACD$
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\DC=EC\end{cases}$
∴ $△ ACD ≌ △ BCE$（SAS）
∴ $∠ CAD=∠ CBE$
∴ $∠ CAD+∠ CAB+∠ ABE=∠ CBE+∠ CAB+∠ ABE=∠ CAB+∠ CBA=45°+45°=90°$
∴ $∠ AOB=180°-90°=90°$，即$AD⊥ BE$
由勾股定理可得：
$AD^2=AO^2+DO^2$，$BE^2=BO^2+EO^2$
∴ $AD^2+BE^2=AO^2+DO^2+BO^2+EO^2=(AO^2+BO^2)+(DO^2+EO^2)=AB^2+DE^2$
又
∵ $AB^2=AC^2+BC^2=2^2+2^2=8$，$DE^2=DC^2+CE^2=3^2+3^2=18$
∴ $AD^2+BE^2=8+18=26$
【答案】
26
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是三角形综合基础题，解题核心是先证明两条线段垂直，再利用勾股定理转化待求式，只要理清角的等量关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.65

【分析】
（1）本题是实数的混合运算，解题时需先分别计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值、立方根，再按照从左到右的顺序进行加减运算即可。解题前要明确对应运算法则：负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，非零数的零次幂等于1，绝对值运算要先判断绝对值内式子的正负再去绝对值，负数的立方根仍是负数。
（2）本题可使用直接开平方法解方程，解题时先把常数项移到等号右侧，再对等式两边同时开平方，注意开平方后有正负两种情况，分情况计算就能得到x的所有解。
【解析】
（1）分步计算各项后合并：
① 负整数指数幂：$(\frac{1}{3})^{-2}=3^2=9$
② 零指数幂：$π-2023≠0$，因此$(π-2023)^0=1$
③ 绝对值：$\sqrt{9}=3$，则$|2-\sqrt{9}|=|2-3|=1$，因此$-|2-\sqrt{9}|=-1$
④ 立方根：$\sqrt[3]{-27}=-3$
合并计算：$9+1-1+(-3)=6$
（2）解方程$(2x-3)^2 -25=0$：
第一步：移项得$(2x-3)^2=25$
第二步：两边同时开平方得$2x-3=±5$
第三步：分两种情况求解：
当$2x-3=5$时，$2x=8$，解得$x=4$；
当$2x-3=-5$时，$2x=-2$，解得$x=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{x=4}$或$\boxed{x=-1}$
【知识点】
实数的混合运算、零负指数幂运算、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础运算类题型，主要考察基础运算能力，只要熟练掌握对应运算规则和直接开平方法解方程的步骤就能顺利得分，计算时注意不要漏掉开平方的负根情况。
【难度系数】
0.85

【分析】
（1）要证明△BDE是等腰三角形，需证该三角形有两边相等或两个内角相等。首先结合已知条件：利用平行线的内错角相等，可得DE//AC推出∠1=∠4；再结合AD平分∠BAC得∠1=∠2，等量代换得∠2=∠4；最后利用AD⊥BD的垂直关系，根据直角三角形两锐角互余，结合等角的余角相等可推出∠ABD=∠5，即可得DE=BE，完成等腰三角形的证明。
（2）要证明CD=BE，结合（1）的结论DE=BE，只需证CD=DE即可。由CD//AB可得内错角∠2=∠3，结合前文角的等量关系可推得∠3=∠4，再结合AD为公共边、∠1=∠2，用ASA判定△ACD≌△AED，即可得CD=DE，经等量代换得CD=BE。
【解析】
(1) 如答图，
$\because DE// AC,\therefore ∠ 1=∠ 4.$
$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 2=∠ 4.$
$\because AD⊥ BD,\therefore ∠ 2+∠ ABD=90°,∠ 5+∠ 4=90°,$
$\therefore ∠ 5=∠ ABD,\therefore DE=BE,$
$\therefore △ BDE$是等腰三角形.
(2)由(1)知,$∠ 1=∠ 2,∠ 2=∠ 4.$
$\because CD// AB,\therefore ∠ 2=∠ 3,\therefore ∠ 3=∠ 4.$
又$\because AD=AD,\therefore △ ACD≌ △ AED(\mathrm{ASA}),$
$\therefore CD=DE,$由(1)知$DE=BE,\therefore CD=BE.$
【答案】
(1) 如答图，
$\because DE// AC,\therefore ∠ 1=∠ 4.$
$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 2=∠ 4.$
$\because AD⊥ BD,\therefore ∠ 2+∠ ABD=90°,∠ 5+∠ 4=90°,$
$\therefore ∠ 5=∠ ABD,\therefore DE=BE,$
$\therefore △ BDE$是等腰三角形.
(2)由(1)知,$∠ 1=∠ 2,∠ 2=∠ 4.$
$\because CD// AB,\therefore ∠ 2=∠ 3,\therefore ∠ 3=∠ 4.$
又$\because AD=AD,\therefore △ ACD≌ △ AED(\mathrm{ASA}),$
$\therefore CD=DE,$由(1)知$DE=BE,\therefore CD=BE.$
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，综合考查了角平分线、平行线、等腰三角形、全等三角形的相关性质，解题核心是通过角的等量代换建立角、边的相等关系，能够有效锻炼几何证明的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）求总利润的函数表达式，核心依据是“总利润=甲品牌总利润+乙品牌总利润”：先算出单个甲、乙书包的利润，再结合甲书包购进x个，可得乙书包购进(80-x)个，分别计算两类书包的总利润相加即可得到y与x的关系。
（2）判断是否能获得1406元利润，只需将y=1406代入（1）的函数式求解x，结合书包个数为正整数的实际要求，即可判断是否可行。
（3）先根据“甲品牌书包数量不超过乙品牌的一半”列不等式，求出x的取值范围；再结合一次函数的增减性，在x的合法取值内找能让y最大的x值，代入计算即可得到最大利润和对应进货方案。
【解析】
(1) 单个甲品牌书包利润为$80-60=20$元，单个乙品牌书包利润为$72-56=16$元，购进甲品牌x个，则购进乙品牌$(80-x)$个，因此总利润：
$\begin{aligned}y&=(80-60)x+(72-56)(80-x)\\&=20x+16(80-x)\\&=4x+1280\end{aligned}$
∴y与x的函数表达式为$y=4x+1280$。
(2) 该文具店不会获得利润1406元，理由如下：
当$y=1406$时，代入函数式得：
$4x+1280=1406$
解得$x=31.5$
∵x表示书包个数，必须为正整数，31.5不符合实际意义，因此该文具店不会获得利润1406元。
(3) 根据题意列不等式：
$x≤ \frac{1}{2}(80-x)$
解不等式：
$2x≤ 80-x$
$3x≤ 80$
$x≤ \frac{80}{3}\approx26.67$
在$y=4x+1280$中，$k=4＞0$，因此y随x的增大而增大，
又
∵x为正整数，
∴x的最大值为26，此时乙品牌书包数量为$80-26=54$个，
最大利润为$y=4×26+1280=1384$元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=4x+1280}$；
(2) 不会获得1406元利润，理由见解析；
(3) 购进甲品牌书包26个，乙品牌书包54个时获得最大利润，最大利润为$\boldsymbol{1384}$元。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题结合实际销售场景，综合考查函数、不等式的相关知识，解题的关键是理清利润、数量之间的数量关系，同时注意实际问题中自变量的取值要符合现实要求，是函数与不等式结合的典型应用题。
【难度系数】
0.65