【分析】
（1）求解正比例函数的参数问题，需先明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数且$k≠0$）的函数为正比例函数，因此给定的函数需要同时满足常数项为0、一次项系数不为0两个条件，联立条件即可求出$a$的值。
（2）求解一次函数图象过特象限时的参数范围，需掌握一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象与系数的关系：当$k＞0$时，直线过第一、三象限；当$b＜0$时，直线与$y$轴交于负半轴。图象过第一、三、四象限说明$k＞0$且$b＜0$，列出对应不等式组求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：(1) $\because y=(2a-1)x+a-2$是正比例函数，
$\therefore$ 需满足$\begin{cases}a-2=0 \\ 2a-1≠0\end{cases}$，
解得$a=2$，代入验证$2a-1=3≠0$，符合条件。
(2) $\because$ 一次函数$y=(2a-1)x+a-2$的图象经过第一、三、四象限，
$\therefore$ 需满足$\begin{cases}2a-1＞0 \\ a-2＜0\end{cases}$，
解不等式$2a-1＞0$得$a＞\frac{1}{2}$，解不等式$a-2＜0$得$a＜2$，
因此不等式组的解集为$\frac{1}{2}＜a＜2$。
【答案】
(1) $a=2$；
(2) $\frac{1}{2}＜a＜2$
【知识点】
正比例函数的定义；一次函数图象与系数的关系；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是一次函数的基础考查题型，解题核心是准确记忆正比例函数的判定规则、一次函数系数与图象象限的对应关系，解题时要注意一次项系数不为0的隐含条件，避免漏算限制条件导致错解。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 求一次函数表达式优先使用待定系数法，一次函数通用形式为$y=kx+b$（$k≠0$），已知函数经过两个点，将两点坐标代入通用式即可得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$就能确定函数表达式。
(2) 求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，首先要找到函数与$x$轴、$y$轴的交点坐标：与$y$轴交点令$x=0$求对应$y$值，与$x$轴交点令$y=0$求对应$x$值，两个交点到原点的距离就是直角三角形的两条直角边长，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) 设此一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$A(1,1)$、$B(-1,-3)$代入表达式，得：
$\begin{cases}k+b=1\\-k+b=-3\end{cases}$
解方程组，两式相加得$2b=-2$，解得$b=-1$，将$b=-1$代入$k+b=1$，得$k=2$，
$\therefore$此一次函数的表达式为$y=2x-1$。
(2) 在$y=2x-1$中：
令$x=0$，得$y=-1$，即函数与$y$轴交点为$N(0,-1)$，到原点距离$ON=1$；
令$y=0$，得$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，即函数与$x$轴交点为$M(\frac{1}{2},0)$，到原点距离$OM=\frac{1}{2}$。
x轴与y轴互相垂直，因此$△ MON$为直角三角形，两条直角边为$OM$、$ON$，
$\therefore S_{△ MON}=\frac{1}{2}× OM× ON=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $y=2x-1$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，重点考察待定系数法的运用和函数与坐标轴交点的求解逻辑，解题时注意坐标到原点的距离为非负数，避免符号错误影响计算结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 要判断△OEB的形状，可通过推导角相等得到边相等来判定：先利用长方形对边平行的性质得到内错角∠EBO=∠AOB，再结合折叠前后对应角相等得到∠EOB=∠AOB，进而推出∠EOB=∠EBO，根据等角对等边即可判定三角形形状。
(2) 直线OD过原点，其解析式为正比例函数y=kx，只需要求出OD上任意一个点的坐标即可求出解析式。点E同时在BC和OD上，BC上所有点纵坐标均为2，设E的横坐标为m，结合第一问结论用含m的式子表示OE的长度，再在Rt△OCE中利用勾股定理列方程求出m，得到E点坐标后代入正比例函数解析式即可求出k。
【解析】
(1) △OEB是等腰三角形，证明如下：
∵四边形OABC是长方形，
∴BC//AO，
∴∠EBO=∠AOB，
由折叠的性质可得：∠EOB=∠AOB，
∴∠EOB=∠EBO，
∴EO=EB，
∴△OEB是等腰三角形。
(2) 设点E的坐标为$(m,2)$，
∵BC的长度为4，
∴$BE=4-m$，
由(1)得$OE=BE=4-m$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$OC=2$，$CE=m$，$OE=4-m$，
根据勾股定理得：$OE^2=OC^2+CE^2$，即$(4-m)^2=2^2+m^2$，
展开得$16-8m+m^2=4+m^2$，
化简得$8m=12$，解得$m=\frac{3}{2}$，
∴E点坐标为$(\frac{3}{2},2)$。
设直线OD的函数表达式为$y=kx$（$k≠0$），
将$E(\frac{3}{2},2)$代入得：$2=\frac{3}{2}k$，解得$k=\frac{4}{3}$，
∴直线OD的函数表达式为$y=\frac{4}{3}x$。
【答案】
(1) $△ OEB$是等腰三角形；
(2) 直线$OD$的函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{4}{3}x}$
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 等腰三角形的判定
3. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合矩形性质、折叠变换与一次函数知识，既考查了几何中角的关系推导、等腰三角形的判定，又考查了利用勾股定理列方程求点坐标、待定系数法求函数解析式的方法，体现了数形结合与方程思想的应用，是几何与代数结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1)要确定一次函数表达式，需要先得到一次函数图象上两个点的坐标，首先点A在正比例函数y=2x上，将A点横坐标代入正比例函数即可求出a，得到A点坐标；再将已知的点(-2,4)和A点坐标代入一次函数y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，得到一次函数表达式。(2)求△AOB的面积，首先需要求出B点坐标：B是一次函数与x轴的交点，令y=0代入一次函数表达式即可求出B点横坐标，得到OB的长度；△AOB以OB为底，高就是点A的纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 先求点A的坐标：
∵ 正比例函数$y=2x$的图象过点$A(1,a)$，将$x=1$代入得：
$a=2×1=2$，即点A的坐标为$(1,2)$。
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象过点$(-2,4)$和$(1,2)$，将两点坐标代入解析式得方程组：
$\begin{cases}-2k+b=4\\k+b=2\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去b，得：$3k=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$，
将$k=-\frac{2}{3}$代入$k+b=2$，得：$-\frac{2}{3}+b=2$，解得$b=\frac{8}{3}$。
∴ 一次函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$。
(2) 求△AOB的面积：
先求点B的坐标：点B是直线$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，令$y=0$，得：
$0=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$，解得$x=4$，即$B(4,0)$，
∴ $OB=4$。
点A到x轴的距离为点A纵坐标的绝对值，即$|y_A|=2$，根据三角形面积公式：
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×OB×|y_A|=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
(1) 一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}}$；(2) $S_{△AOB}=\boldsymbol{4}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点问题，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心考察待定系数法求函数解析式的方法，以及一次函数与几何图形结合的面积计算，解题时注意利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质，属于常规得分题。
【难度系数】
0.7