【分析】
要确定平面直角坐标系中点的坐标，需先求出点到坐标轴的距离，再结合点所在象限判断坐标符号。本题已知正方形顶点A、D的坐标，可通过过B、C作坐标轴的垂线构造直角三角形，利用正方形四边相等、内角为90°的性质，推导角的等量关系，证明直角三角形全等，得到对应边的长度，最终算出B、C到坐标轴的距离，得到两点坐标。
【解析】
如答图，过点$B$作$BE⊥y$轴于点$E$，过点$C$作$CF⊥BE$于点$F$，交$x$轴于点$G$，则$∠AOD=∠BEA=∠CFB=∠DGC=90°$。
∵点$A$的坐标为$(0,4)$，点$D$的坐标为$(-3,0)$，
∴$OA=4$，$OD=3$。
∵四边形$ABCD$是正方形，$∴AB=BC=CD=DA$。
∵$∠ADO+∠DAO=∠DAO+∠BAE=90°$，
∴$∠ADO=∠BAE$。 同理，$∠ADO=∠CBF=∠DCG$，
∴$△AOD≌△BEA≌△CFB≌△DGC$，
∴$AO=BE=CF=DG=4$，$AE=BF=CG=DO=3$，
∴$OE=OA-AE=4-3=1$，$OG=DG-OD=4-3=1$，
结合点$B$在第一象限，点$C$在第四象限，可得B点横坐标为$BE=4$，纵坐标为$OE=1$；C点横坐标为$OG=1$，纵坐标为$-CG=-3$。
【答案】
如答图,过点$B$作$BE⊥y$轴于点$E$,过点$C$作$CF⊥BE$于点$F$,交$x$轴于点$G$,则$∠AOD=∠BEA=∠CFB=∠DGC=90°$.
∵点$A$的坐标为$(0,4)$,点$D$的坐标为$(-3,0)$,
∴$OA=4$,$OD=3$.
∵四边形$ABCD$是正方形,$∴AB=BC=CD=DA$.
∵$∠ADO+∠DAO=∠DAO+∠BAE=90°$,
∴$∠ADO=∠BAE$. 同理,$∠ADO=∠CBF=∠DCG$,
∴$△AOD≌△BEA≌△CFB≌△DGC$,
∴$AO=BE=CF=DG=4$,$AE=BF=CG=DO=3$,
∴$OE=EF=FG=GO=1$,
∴$CG=CF-GF=4-1=3$.
又
∵点$B$在第一象限,点$C$在第四象限,
∴$B(4,1)$,$C(1,-3)$.
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是几何与坐标系结合的典型题型，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，将坐标求解转化为线段长度计算，解题时需注意点所在象限对坐标符号的影响，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 第一象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相等，据此列关于m的方程，解方程求出m的值，即可得到点P的坐标。
(2) ①判断OA+OB是否为定值，可过点P分别作x轴、y轴的垂线，利用角平分线的性质得两条垂线段长度相等，再结合AP⊥BP的条件证明三角形全等，将OA、OB的线段和转化为正方形的边长之和，即可求出定值。
②求OA²+OB²的最小值，先利用勾股定理将其转化为AB²，再结合等腰直角三角形APB的性质将AB²转化为2倍的PA²，根据垂线段最短找到PA的最小值，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，因此点P的横、纵坐标相等，列方程求解m，代入即可得到P点坐标。
(2) ①过点P作x轴、y轴的垂线后，可得到正方形OMPN，利用同角的余角相等得到一组相等的角，结合角平分线得到的等线段，可证明△PMB和△PNA全等，将线段等量转化后即可得到OA+OB的定值。
②利用勾股定理分别在Rt△AOB和等腰Rt△APB中建立线段平方的关系，将OA²+OB²转化为和PA相关的表达式，再根据垂线段最短找到PA的最小值，即可求出最小值。
【答案】
(1)
∵点$P(3m-1,-2m+4)$在第一象限的角平分线$OC$上，$∴3m-1=-2m+4$，解得$m=1$，
∴点$P$的坐标为$(2,2)$。
(2) ①不变。如答图，过点$P$作$PM⊥y$轴于点$M$，$PN⊥x$轴于点$N$，则$∠PMO=∠PNO=∠MON=90°$。

∵$OC$平分$∠AOB$，$∴PM=PN$，
∴四边形$OMPN$是正方形，
∴$∠MPN=∠AOB=90°$，$OM=ON$，
∴$∠MPB=∠NPA$，$∴△PMB≌△PNA(ASA)$，
∴$NA=BM$，$PA=PB$，
∴$OA+OB=ON+AN+OM-BM=2OM=4$，即$OA+OB$的值为4。
②在$Rt△AOB$中，$OA^2+OB^2=AB^2$，在$Rt△APB$中，$AB^2=PA^2+PB^2=2PA^2$，$∴OA^2+OB^2=2PA^2$。
当$PA$最小时，$OA^2+OB^2$的值最小，由垂线段最短，知$PA$的最小值为2，$∴OA^2+OB^2$的最小值为8。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，将角平分线、全等三角形、勾股定理及最值问题结合考查，解题的核心是通过作辅助线构造全等三角形完成线段的转化，体现了转化思想在几何解题中的重要应用。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 解决平移相关问题首先要明确平移坐标变化规则：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减。先确定原正方形顶点B的坐标为(4,4)，按平移规则计算出对应点B'的坐标，再将所有顶点平移后顺次连接即可得到平移后的正方形。
(2) 求重叠区域整点个数，先确定两个正方形重叠部分的坐标范围：x在2到4之间，y在1到4之间，再逐一找出该范围内横、纵坐标均为整数的点，计数即可。
(3) 求点P坐标分两步：第一步利用三角形面积公式，以OA为底，高为点P的纵坐标，求出P的纵坐标为1；第二步根据“以OA为腰的等腰三角形”分两种情况讨论：OA=OP、OA=PA，分别用勾股定理列方程求横坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 原正方形OABC中点B坐标为(4,4)，向右平移2个单位后横坐标为$4+2=6$，向上平移1个单位后纵坐标为$4+1=5$，即B'坐标为(6,5)。将O、A、B、C均按此规则平移得到对应点后顺次连接，得到正方形O'A'B'C'。
(2) 正方形OABC的范围是$0≤x≤4,0≤y≤4$，平移后正方形O'A'B'C'的范围是$2≤x≤6,1≤y≤5$，重叠区域范围为$2≤x≤4,1≤y≤4$。该范围内整点为$(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(4,2),(2,3),(3,3),(4,3),(2,4),(3,4),(4,4)$，共12个。
(3) 设点P坐标为$(m,n)$，点P在x轴上方则$n＞0$。已知$OA=4$，$△ OAP$面积为2，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × OA × n = 2$，代入OA=4解得$n=1$。
分两种情况讨论：
① 当$OA=OP=4$时，由勾股定理得$m^2+1^2=4^2$，解得$m=±\sqrt{15}$，即P为$(\sqrt{15},1)$或$(-\sqrt{15},1)$；
② 当$OA=PA=4$时，由勾股定理得$(m-4)^2+1^2=4^2$，解得$m=4±\sqrt{15}$，即P为$(4+\sqrt{15},1)$或$(4-\sqrt{15},1)$。
【答案】
(1)如答图,正方形$O'A'B'C'$即为所求,点$B'$的坐标为$(6,5)$.
(2)正方形$OABC$与正方形$O'A'B'C'$重叠区域(包括边界)内的整点有12个。
(3)点$P$的坐标为$(\sqrt{15},1)$或$(-\sqrt{15},1)$或$(4+\sqrt{15},1)$或$(4-\sqrt{15},1)$。
【知识点】
图形的平移，等腰三角形的性质，平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系的综合题，考查了平移变换、整点识别、等腰三角形分类讨论和面积计算，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免漏解，同时要熟练掌握平移的坐标变化规律。
【难度系数】
0.65