【分析】
(1) 要求供水点M到A、B的管道总长，即求AM+BM的值，已知BM长度，只需先求出AM即可。首先由MN⊥AB可知△MNB和△AMN均为直角三角形，先在Rt△MNB中用勾股定理算出BN的长度，再用AB总长减去BN得到AN的长度，接着在Rt△AMN中用勾股定理算出AM的长度，最后将AM与BM相加即可得到管道总长。
(2) 点到直线的最短距离是该点到直线的垂线段长度，因此只需判断BM是否垂直于AC：先整理△ABM的三边长度，用勾股定理的逆定理验证△ABM是否为直角三角形，若∠AMB为直角，则BM就是B到AC的垂线段，其长度就是所求最短距离。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△MNB$中，
$\because BM=75\ \mathrm{m}$，$MN=60\ \mathrm{m}$，
$\therefore BN=\sqrt{BM^2-MN^2}=\sqrt{75^2-60^2}=45(\mathrm{m})$，
$\therefore AN=AB-BN=125-45=80(\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△AMN$中，$AM=\sqrt{AN^2+MN^2}=\sqrt{80^2+60^2}=100(\mathrm{m})$，
$\therefore AM+BM=100+75=175(\mathrm{m})$。
(2) 在$△ ABM$中，$AB=125\ \mathrm{m}$，$AM=100\ \mathrm{m}$，$BM=75\ \mathrm{m}$，
$\because BM^2+AM^2=75^2+100^2=15625$，$AB^2=125^2=15625$，
$\therefore AB^2=BM^2+AM^2$，
$\therefore △ABM$是直角三角形，且$∠ AMB=90°$，即$BM⊥AC$，
根据垂线段最短可知，喷泉B到小路AC的最短距离就是BM的长度，为75m。
【答案】
(1) $\boxed{175\ \mathrm{m}}$
(2) $\boxed{75\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，垂线段最短
【点评】
本题结合生活实际考查几何定理的应用，解题关键是将实际问题转化为几何问题，灵活运用勾股定理及其逆定理进行计算和判定，注重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题所求的四边形ABCD是不规则图形，无法直接计算面积，因此考虑通过添加辅助线将其转化为三角形求解：
1. 首先连接AC，在Rt△ABC中，已知两条直角边AB、BC的长度，可通过勾股定理求出斜边AC的长度；
2. 得到AC长度后，观察△ADC的三边长AD、AC、CD，利用勾股定理的逆定理判断△ADC是否为直角三角形，若为直角三角形，四边形ABCD的面积就等于两个直角三角形的面积之和；
3. 求AE的长时，AE是△ACD中CD边上的高，可利用等面积法：同一个三角形的面积可以用“两直角边乘积的一半”和“底×高÷2”两种方式表示，列等式即可求出AE的长度。
【解析】
如答图，连接$AC$.

(1)$\because AB⊥BC$,$\therefore ∠ABC=90°$.
$\because AB=9\ \mathrm{m}$,$BC=12\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15(\mathrm{m})$.
$\because CD=17\ \mathrm{m}$,$AD=8\ \mathrm{m}$,
$\therefore AD^2+AC^2=8^2+15^2=289=17^2=CD^2$,
$\therefore △DAC$为直角三角形,$∠DAC=90°$,
$\therefore$需要绿化的空地$ABCD$的面积为$S_{△ABC}+S_{△DAC}=\dfrac{1}{2}AB·BC+\dfrac{1}{2}AD·AC=\dfrac{1}{2}×9×12+\dfrac{1}{2}×8×15=114(\mathrm{m}^2)$.
(2)$\because AE⊥CD$,$∠DAC=90°$,
$\therefore S_{△DAC}=\dfrac{1}{2}AD·AC=\dfrac{1}{2}CD·AE$,
$\therefore 8×15=17×AE$,解得$AE=\dfrac{120}{17}(\mathrm{m})$.
【答案】
(1) 空地ABCD的面积为$\boldsymbol{114\ \mathrm{m^2}}$；
(2) 小路AE的长为$\boldsymbol{\dfrac{120}{17}\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理；勾股定理逆定理；等面积法求高
【点评】
本题是常见的几何实际应用类题型，核心是通过添加辅助线将不规则图形转化为规则的直角三角形求解，既考查了勾股定理及其逆定理的基础应用，也考查了等面积法的灵活使用，解题的关键是合理构造辅助线，掌握转化的数学思想。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）要证BD⊥AF，已知AF⊥EF，可先证BD//EF。根据题中给出的BC=CF、DC=CE，结合对顶角相等，可通过SAS判定△BCD≌△FCE，得到对应角相等即可推出BD//EF，进而得到BD与AF的垂直关系。
（2）首先按要求补全图形，延续第一问的辅助线方法，延长BC到点F使CF=BC，先由AC垂直平分BF得AB=AF，结合第一问结论可得BD=EF、BH//EF，将已知的AB²=AE²+BD²转化为AF²=AE²+EF²，由勾股定理逆定理可得∠AEF=90°，进而推出∠BHE=90°，最后根据直角三角形斜边中线的性质即可得到CD与CH的数量关系。
【解析】
(1)证明：如答图①，延长$BD$交$AF$于点$M$。

$\because AF⊥EF$，$\therefore ∠AFE=90°$。
在$△BCD$和$△FCE$中，
$\begin{cases} BC=FC, \\ ∠BCD=∠FCE, \\ DC=EC, \end{cases}$
$\therefore △BCD≌△FCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠CBD=∠CFE$，
$\therefore BD// EF$，
$\therefore ∠AMB=∠AFE=90°$，
$\therefore BD⊥AF$。
(2)解：补全图形如答图②，线段CD与CH的数量关系为$\boldsymbol{CH=CD}$。
理由如下：
如答图②，延长$BC$至点$F$，使$CF=BC$，连接$AF$、$EF$。
$\because ∠ACB=90°$，$\therefore AC⊥BF$，
又$\because BC=CF$，$\therefore AC$垂直平分线段$BF$，$\therefore AB=AF$。
由(1)的证明可得$BH// EF$，$BD=EF$。
$\because AB^2=AE^2+BD^2$，$\therefore AF^2=AE^2+EF^2$，
由勾股定理逆定理可得$∠AEF=90°$。
$\because BH// EF$，$\therefore ∠BHE=∠AEF=90°$，即$△ DHE$为直角三角形。
又$\because CE=DC$，即$C$是斜边$DE$的中点，
$\therefore CH=\dfrac{1}{2}DE=CD$。
【答案】
(1) $BD⊥AF$，证明见解析；
(2) 补全图形见，线段数量关系为$\boldsymbol{CH=CD}$，理由见解析。
【知识点】
全等三角形判定与性质，勾股定理逆定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于典型的递进式几何综合题，前后问关联性强，第一问构造全等三角形推导平行关系是解题的基础，第二问沿用第一问的辅助线思路，结合勾股定理逆定理和直角三角形斜边中线的性质即可求解，解题时要注意利用前问结论简化推导过程。
【难度系数】
0.6