18.(6分)如图，AD是△ABC的中线，AD=24，AB=26，BC=20.求AC的长.
答案：18.解:$\because AD$是$△ABC$的中线,$BC=20$,$\therefore BD=\dfrac{1}{2}BC=10$.
又$\because AD=24$,$AB=26$,$\therefore BD^2+AD^2=AB^2$,
$\therefore AD⊥BC$,$\therefore AD$垂直平分$BC$,$\therefore AC=AB=26$.
解析：
【分析】
解题时首先从已知条件“AD是△ABC的中线”入手，根据中线的性质可求出BD的长度；接下来观察BD、AD、AB的长度，可通过勾股定理的逆定理判断AD与BC的位置关系；确认AD垂直BC后，结合D是BC中点，可知AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可直接得到AC的长度。
【解析】
解：$\because AD$是$△ ABC$的中线，$BC=20$，
$\therefore BD=\dfrac{1}{2}BC=10$.
又$\because AD=24$，$AB=26$，
$\therefore BD^2+AD^2=10^2+24^2=100+576=676$，$AB^2=26^2=676$，
即$BD^2+AD^2=AB^2$，
$\therefore △ ABD$是直角三角形，$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$.
$\because D$是$BC$中点，且$AD⊥ BC$，
$\therefore AD$垂直平分$BC$，
$\therefore AC=AB=26$.
【答案】
26
【知识点】
三角形中线的定义；勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先利用三角形中线的性质得到BD的长度，再借助勾股定理的逆定理证明线段垂直，最后结合线段垂直平分线的性质求出AC的长，可有效检验学生对几何基础定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
19.(8分)如图,一架云梯AB长25 m,斜靠在一面墙上,梯子靠墙的一端A距地面24 m.
(1)这架梯子底端B离墙多少米?
(2)如果梯子的顶端下滑的距离AD=4 m,求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长.
答案：19.解:(1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$AB=25\ \mathrm{m}$,$AC=24\ \mathrm{m}$,由勾股定理,得$BC^2=AB^2-AC^2=25^2-24^2=49$,解得$BC=7$,即这架梯子底端$B$离墙$7\ \mathrm{m}$.
(2)在$\mathrm{Rt}△DCE$中,$DE=25\ \mathrm{m}$,$DC=24-4=20(\mathrm{m})$.
由勾股定理,得
$CE^2=DE^2-DC^2=25^2-20^2=225$,
解得$CE=15$.
$\therefore BE=CE-BC=15-7=8(\mathrm{m})$,
$\therefore$梯子的底部$B$在水平方向滑动的距离$BE$的长为$8\ \mathrm{m}$.
解析：
【分析】
本题是勾股定理在实际场景中的应用类题目，解题思路如下：
（1）观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知斜边AB和直角边AC的长度，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，即可求出另一条直角边BC的长度，也就是梯子底端离墙的距离；
（2）梯子下滑过程中自身长度不变，即DE=AB=25m，先算出下滑后梯子顶端到地面的距离DC=AC-AD，再在Rt△DCE中用勾股定理求出CE的长度，最后用CE减去原有的BC长度，就能得到梯子底部水平滑动的距离BE。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=25\ \mathrm{m}$，$AC=24\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$BC^2=AB^2-AC^2$，
代入数值计算：$BC^2=25^2-24^2=625-576=49$，
解得$BC=7\ \mathrm{m}$。
（2）梯子下滑后长度不变，故$DE=AB=25\ \mathrm{m}$，
此时顶端到地面的距离$DC=AC-AD=24-4=20\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△DCE$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：$CE^2=DE^2-DC^2$，
代入数值计算：$CE^2=25^2-20^2=625-400=225$，
解得$CE=15\ \mathrm{m}$，
因此$BE=CE-BC=15-7=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）$\boxed{7\ \mathrm{m}}$；（2）$\boxed{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理，解直角三角形，实际几何应用
【点评】
本题是勾股定理的经典基础应用题，解题核心是抓住“梯子长度不变”的隐含条件，两次构造直角三角形调用勾股定理计算边长即可，能够很好地考查学生将实际问题转化为几何问题的建模能力和基础公式应用能力。
【难度系数】
0.8
20.(8分)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=2\sqrt{5}$,$AC=2$,分别以点$A$,$B$为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧分别交于点$M$,$N$,作直线$MN$分别交$AB$,$BC$于点$D$,$E$,连接$CD$,$AE$.
求:(1)$CD$的长;(2)$△ ACE$的周长.
答案：20.解:(1)由作图过程可知,直线$MN$为线段$AB$的垂直平分线,$\therefore D$为$AB$的中点.
又$\because ∠ACB=90°$,$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{5}$.
(2)在$\mathrm{Rt}△ABC$中,由勾股定理,得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=4$.
$\because$直线$MN$为线段$AB$的垂直平分线,$\therefore EA=EB$,
$\therefore △ACE$的周长为$AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=2+4=6$.
解析：
【分析】
(1)首先根据尺规作图的特征，判断出直线MN是AB的垂直平分线，可得D是AB的中点；再结合∠ACB=90°，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出CD的长度。
(2)先在Rt△ABC中用勾股定理计算出BC的长度，再根据垂直平分线的性质得到EA=EB，将△ACE的周长中的EA替换为EB，即可把周长转化为AC与BC的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1)由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，因此D为AB的中点。
又
∵∠ACB=90°，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴$CD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4$。
∵直线MN为线段AB的垂直平分线，点E在MN上，
∴$EA=EB$。
则△ACE的周长为$AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=2+4=6$。
【答案】
(1)$\sqrt{5}$；(2)$6$
【知识点】
垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，首先需要识别尺规作图得到的垂直平分线，再结合直角三角形的相关性质解题，求三角形周长时用到的等线段转化思想是这类题型的常用技巧，属于高频考点题型。
【难度系数】
0.7
