【分析】
题目给出的是直角三角形，已知两条直角边的长度求斜边，核心解题依据是勾股定理。首先明确直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，将已知的直角边长代入公式计算后，结合边长为正数的属性，取正的算术平方根即可得到斜边长度。
【解析】
解：
∵$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC$、$BC$为直角边，$AB$为斜边
根据勾股定理可得：$AB^2=AC^2+BC^2$
将$AC=3$，$BC=5$代入上式：
$AB^2=3^2+5^2=9+25=34$
∵线段长度为正数
∴$AB=\sqrt{34}$
【答案】
$\sqrt{34}$
【知识点】
1.勾股定理 2.算术平方根的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是明确直角三角形直角边和斜边的对应关系，计算时注意边长为非负数，需取正的平方根即可。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先从已知条件出发：题目给出了三角形三边的比例关系和周长，第一步可通过设未知数的方法，根据周长求出三边的实际长度；接下来观察三边比例3:4:5是常见的勾股数比例，可利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形；最后根据直角三角形面积等于两条直角边乘积的一半计算面积即可。
【解析】
解：设三角形三边长分别为$5x\ \mathrm{cm}$、$4x\ \mathrm{cm}$、$3x\ \mathrm{cm}$。
由周长为$60\ \mathrm{cm}$可得：
$5x + 4x + 3x = 60$
合并同类项得$12x = 60$，解得$x = 5$。
因此三边长分别为：
$5x = 5×5 = 25\ \mathrm{cm}$，$4x = 4×5 = 20\ \mathrm{cm}$，$3x = 3×5 = 15\ \mathrm{cm}$。
验证：$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$，根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且两条直角边长为15cm和20cm。
则三角形面积为：$\frac{1}{2}×15×20 = 150\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
150
【知识点】
按比例分配、勾股定理的逆定理、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先利用比例和周长求出三边长度，再通过勾股逆定理确定三角形为直角三角形，进而计算面积，解题思路清晰，是勾股定理相关的常见题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求∠AOB的度数，我们可以通过构造三角形求解：首先连接AB，借助网格和勾股定理分别计算出△OAB三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，结合边长关系就能推出∠AOB的度数。
【解析】
连接AB，设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算三边长度的平方：
$OA^2=1^2+2^2=5$，
$AB^2=(3-1)^2+(1-2)^2=2^2+(-1)^2=5$，
$OB^2=3^2+1^2=10$。
由此可得$OA=AB$，且$OA^2+AB^2=5+5=10=OB^2$，根据勾股定理的逆定理可知△OAB是等腰直角三角形，且$∠ OAB=90°$，因此$∠ AOB=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格中角度计算的典型题，解题关键是合理构造三角形，结合勾股定理及其逆定理判断三角形的形状，充分体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先观察图形特征：首先右边的△ABC是直角三角形，可先利用勾股定理求出AB的平方；其次左边两个阴影正方形的边长是左侧空白直角三角形的两条直角边，该直角三角形的斜边等于中间正方形的边长AB，根据勾股定理，两个阴影正方形的面积和（即边长平方和）等于AB的平方，因此只需算出AB²即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入AC=13，BC=12，得：
$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$
设两个阴影正方形的边长分别为a、b，左侧空白直角三角形的斜边为AB，由勾股定理可得$a^2 + b^2 = AB^2$。
阴影部分的面积为两个正方形的面积和，即$S_{阴影}=a^2 + b^2 = AB^2 = 25$。
【答案】
25
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题解题核心是运用整体思想，将阴影部分面积和转化为直角三角形斜边的平方，无需单独计算每个阴影正方形的面积，简化了运算过程，重点考查对勾股定理的理解和图形中线段关系的观察能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先观察图形：首先△ABC是直角三角形，已知两条直角边的长度，可先通过勾股定理求出斜边AC的长；再根据圆的半径相等，得到AP=AC；最后结合点A在数轴上的位置，计算出点P表示的数即可。
【解析】
解：
∵点A表示的数是-2，点B在原点，
∴AB = 0 - (-2) = 2，
∵∠ABC=90°，BC=1，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∵以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于点P，
∴AP=AC=$\sqrt{5}$，
∵点A表示的数是-2，点P在原点右侧，
∴点P表示的数为$-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2$。
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
勾股定理；数轴与实数；圆的基本性质
【点评】
本题是数形结合的典型基础题，将数轴、直角三角形和圆的知识点结合考查，解题的核心是抓住同圆半径相等得到AP=AC，再利用勾股定理计算线段长度，进而确定数轴上点对应的数。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先从角平分线的性质入手，结合∠ACB与∠ACD为邻补角，可推出∠ECF是直角，确定△ECF为直角三角形；再利用平行线的内错角相等性质，结合角平分线定义推导得到EM=CM、MF=CM，从而求出EF的长度；最后利用直角三角形的勾股定理即可算出CE²+CF²的值。
【解析】
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD
∴∠ECM=½∠ACB，∠FCM=½∠ACD
∵∠ACB+∠ACD=180°（邻补角的和为180°）
∴∠ECF=∠ECM+∠FCM=½(∠ACB+∠ACD)=½×180°=90°，即△ECF是直角三角形
∵EF//BC
∴∠MEC=∠BCE，∠F=∠DCF（两直线平行，内错角相等）
又
∵∠BCE=∠ECM，∠DCF=∠FCM
∴∠MEC=∠ECM，∠F=∠FCM
∴EM=CM=3，MF=CM=3
∴EF=EM+MF=3+3=6
在Rt△ECF中，由勾股定理得：CE²+CF²=EF²=6²=36
【答案】
36
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将角平分线、平行线性质和勾股定理结合考查，解题的核心是先判断△ECF为直角三角形，再推导出EF的长度，熟练掌握基础几何性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.65

【分析】
首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，因为△ABP是等腰三角形，需分三种情况分类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点（即AB=AP）；②AB为腰，B为顶角顶点（即AB=BP）；③AB为底（即AP=BP），再结合等腰三角形的性质和勾股定理分别计算每种情况下AP的长度即可，注意P在射线AC上，需考虑所有可能的位置，避免漏解。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
分三种情况讨论等腰△ABP：
1. 当$AB=AP$时：
$AP=AB=5$，符合题意；
2. 当$AB=BP$时：
∵$BC⊥AC$，等腰△ABP中BC为底边AP上的高，由三线合一得$AC=CP=4$，
∴$AP=AC+CP=4+4=8$；
3. 当$AP=BP$时：
设$AP=x$，则$BP=x$，$CP=|x-4|$，
在Rt△BCP中，由勾股定理得：$BC^2+CP^2=BP^2$，
代入得$3^2+(4-x)^2=x^2$，
展开计算：$9+16-8x+x^2=x^2$，
化简得$25=8x$，解得$x=\frac{25}{8}$。
综上，AP的长为5或8或$\frac{25}{8}$。
【答案】
5或8或$\dfrac{25}{8}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形存在性的经典题型，解题核心是按照腰的不同情况分类讨论，结合直角三角形的勾股定理列式计算，做题时要注意射线的取值范围，避免遗漏P在AC延长线上的情况。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时先从已知的等腰直角△ABC入手，先求出其边长和底角度数，结合CF//AB的条件得到∠BCF的度数；再利用旋转的性质得到BF与BD相等，先计算出BD的长度；接着过B作CF的垂线构造等腰直角三角形和直角三角形，用勾股定理算出CG、GF的长度；最后考虑旋转的方向不同，点F的位置有两种，分类讨论得到CF的两个长度。
【解析】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$，且∠ABC=∠BAC=45°。
∵CF//AB，
∴∠FCB=∠ABC=45°（两直线平行，内错角相等）。
∵D是AC的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。
在Rt△BCD中，由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{10}$。
由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，故$BF=BD=\sqrt{10}$。
过点B作BG⊥CF于点G：
∵∠BCG=45°，∠BGC=90°，
∴△BCG为等腰直角三角形，故BG=CG。
设BG=CG=x，在Rt△BCG中，由勾股定理得$x^2+x^2=BC^2$，即$2x^2=8$，解得$x=2$（边长为正，舍去负根），即$CG=BG=2$。
在Rt△BGF中，由勾股定理得$GF=\sqrt{BF^2-BG^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-2^2}=\sqrt{6}$。
分两种情况讨论：
①当旋转后点F在线段CG的延长线上时，$CF=CG+GF=2+\sqrt{6}$；
②当旋转后点F在线段GC上时，$CF=GF-CG=\sqrt{6}-2$（$\sqrt{6}＞2$，长度为正，符合题意）。
【答案】
$2+\sqrt{6}$或$\sqrt{6}-2$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题解题的关键是构造辅助线得到直角三角形，同时要注意旋转具有双向性，需要分类讨论两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.4

【分析】
解题时先从已知的直角三角形入手，已知Rt△ABC的斜边AB和直角边BC的长度，可先通过勾股定理计算出AC的长度；再分析△BDC，已知∠C=90°，∠BDC=45°，可判断△BDC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CD=BC，最后用AC减去CD即可得到AD的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2-BC^2=13^2-5^2=144$，
$\therefore AC=12$。
$\because ∠ C=90°$，$∠ BDC=45°$，$BC=5$，
$\therefore CD=BC=5$，
$\therefore AD=AC-CD=12-5=7$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
勾股定理、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算类题目，重点考查对勾股定理和等腰直角三角形性质的掌握与应用，解题逻辑清晰，只要熟练掌握相关基础知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.8