26.(12分)我们知道:任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零,由此可得,如果$ax+b=0$,其中$a,b$是有理数,$x$是无理数,那么$a=0$且$b=0$.
如若$\sqrt{2}(a+2)+b-3=0$,其中$a,b$是有理数,求$a,b$的值.
解:$\because \sqrt{2}$是无理数,$a,b$是有理数,$\therefore a+2=0,b-3=0$,解得$a=-2,b=3$.
请你根据以上信息,解决下列问题.
(1)若$\sqrt{3}(a-1)+b=0$,其中$a,b$是有理数,则$a=$
1
,$b=$
0
.
(2)若$π(a+1)+b-2=0$,其中$a,b$是有理数,则$a=$
−1
,$b=$
2
.
(3)已知$a,b$都是有理数,且$(\sqrt{3}-2)a+b=\sqrt{3}$,求$2a+b$的平方根.
(4)若$2b-a+\sqrt{5}(a+b-4)=5$,其中$a,b$是有理数,求$3a+2b$的算术平方根.
答案：26.(1)1 0 (2)−1 2
(3)解:$\because (\sqrt{3}-2)a+b=\sqrt{3},\therefore \sqrt{3}(a-1)+b-2a=0$.
$\because a,b$都是有理数,$\sqrt{3}$是无理数,$\therefore a-1=0,b-2a=0$,
解得$a=1,b=2,\therefore 2a+b=4,\therefore 2a+b$的平方根为$\pm2$.
(4)解:$\because 2b-a+\sqrt{5}(a+b-4)=5$,
$\therefore 2b-a-5+(a+b-4)\sqrt{5}=0$.
$\because a,b$为有理数,$\therefore \begin{cases}2b-a-5=0,\\a+b-4=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=3,\end{cases}$
$\therefore 3a+2b=3×1+2×3=9$,
$\therefore 3a+2b$的算术平方根为3.
解析：
【分析】
解题核心依据是题目给出的结论：若$ax+b=0$（其中$a,b$为有理数，$x$为无理数），则$a=0$且$b=0$。解题时首先将每问的等式变形为“无理数×有理数系数 + 有理数部分=0”的结构，再令无理数的有理数系数为0、有理数部分也为0，列方程（组）求解对应字母的值，最后按要求计算平方根或算术平方根即可，注意区分平方根有正负两个，算术平方根仅为非负值。
【解析】
(1)
已知$\sqrt{3}(a-1)+b=0$，其中$\sqrt{3}$是无理数，$a-1$、$b$均为有理数，根据题中结论可得：
$\begin{cases}a-1=0\\b=0\end{cases}$，解得$a=1$，$b=0$。
(2)
已知$π(a+1)+b-2=0$，其中$π$是无理数，$a+1$、$b-2$均为有理数，根据题中结论可得：
$\begin{cases}a+1=0\\b-2=0\end{cases}$，解得$a=-1$，$b=2$。
(3)
先整理等式：
$\because (\sqrt{3}-2)a+b=\sqrt{3}$
$\therefore \sqrt{3}a -2a +b - \sqrt{3}=0$
合并含$\sqrt{3}$的项得：$\sqrt{3}(a-1)+(b-2a)=0$
$\because \sqrt{3}$是无理数，$a,b$为有理数，$\therefore a-1$、$b-2a$均为有理数，根据题中结论：
$\begin{cases}a-1=0\\b-2a=0\end{cases}$
解得$a=1$，$b=2$。
则$2a+b=2×1+2=4$，$4$的平方根为$\pm\sqrt{4}=\pm2$。
(4)
先整理等式：
$\because 2b-a+\sqrt{5}(a+b-4)=5$
移项得：$(2b-a-5) + \sqrt{5}(a+b-4)=0$
$\because \sqrt{5}$是无理数，$a,b$为有理数，$\therefore 2b-a-5$、$a+b-4$均为有理数，根据题中结论：
$\begin{cases}2b - a - 5=0\\a + b - 4=0\end{cases}$
两式相加消去$a$得：$3b-9=0$，解得$b=3$，将$b=3$代入$a + b -4=0$得$a=1$。
则$3a+2b=3×1 + 2×3=9$，$9$的算术平方根为$\sqrt{9}=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{0}$
(2) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{2}$
(3) $\boldsymbol{\pm2}$
(4) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
无理数的性质；解二元一次方程组；平方根与算术平方根
【点评】
本题属于材料阅读类题型，核心考查对新定义性质的迁移应用能力，解题的关键是准确拆分等式中的无理数项和有理数项，再结合性质列方程求解，解题时需注意区分平方根和算术平方根的概念，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
27.(12分)定义:若无理数$\sqrt{T}$(T为正整数)的被开方数满足$n^2＜T＜(n+1)^2$(其中n为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“共同体区间”为$(n,n+1)$.例如,因为$1^2＜3＜2^2$,所以$\sqrt{3}$的“共同体区间”为$(1,2)$.请回答下列问题:
(1)$\sqrt{26}$的“共同体区间”为
(5,6)
;
(2)若无理数$\sqrt{a}$的“共同体区间”为$(2,3)$,求$\sqrt{a+6}$的“共同体区间”.
答案：27.(1)(5,6)
(2)解:由新定义可知$2^2＜a＜3^2$,即$4＜a＜9$,
$\therefore 10＜a+6＜15,\therefore 3^2＜a+6＜4^2$,
$\therefore \sqrt{a+6}$的“共同体区间”为$(3,4)$.
解析：
【分析】
本题是结合新定义的无理数估算类题目，解题核心是准确理解“共同体区间”的含义。
第(1)问思路：根据定义，只需找到满足$n^2＜26＜(n+1)^2$的正整数$n$，即可直接得到$\sqrt{26}$的共同体区间。
第(2)问思路：先根据$\sqrt{a}$的共同体区间得到$a$的取值范围，再利用不等式的性质求出$a+6$的取值范围，最后再次结合共同体区间的定义，找到夹在$a+6$两侧的相邻正整数平方，即可得到$\sqrt{a+6}$的共同体区间。
【解析】
(1) 计算相邻正整数的平方可得：$5^2=25$，$6^2=36$，满足$5^2＜26＜6^2$，根据“共同体区间”的定义，$\sqrt{26}$的共同体区间为$(5,6)$。
(2) 已知$\sqrt{a}$的“共同体区间”为$(2,3)$，由定义可得：
$2^2 ＜ a ＜ 3^2$，即$4 ＜ a ＜ 9$，
不等式三边同时加6得：$4+6 ＜ a+6 ＜ 9+6$，即$10 ＜ a+6 ＜ 15$，
又因为$3^2=9 ＜ 10 ＜ 15 ＜ 16=4^2$，即$3^2 ＜ a+6 ＜ 4^2$，
因此$\sqrt{a+6}$的“共同体区间”为$(3,4)$。
【答案】
(1)$(5,6)$
(2)$(3,4)$
【知识点】
新定义理解，无理数估算，不等式性质
【点评】
本题侧重考察新定义规则的运用能力和无理数大小估算的能力，解题关键是紧扣“共同体区间”的定义，通过平方运算确定被开方数的取值范围，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.85
