【分析】
要证明AB=AD，可通过证明AB、AD所在的△ABC和△ADC全等实现。首先梳理已知条件：题目已给出∠ACB=∠ACD，且AC是△ABC和△ADC的公共边，还需要一组角相等即可满足全等判定条件。结合已知∠CBE=∠CDF，根据邻补角的定义，∠ABC与∠CBE互补，∠ADC与∠CDF互补，利用等角的补角相等即可推出∠ABC=∠ADC，凑齐AAS全等判定的三个条件，证得△ABC≌△ADC后，根据全等三角形对应边相等即可得到AB=AD。
【解析】
证明：
∵∠CBE=∠CDF，
∴$180°-∠ CBE=180°-∠ CDF$。
∵$∠ ABC=180°-∠ CBE$，$∠ ADC=180°-∠ CDF$，
∴$∠ ABC=∠ ADC$。
在△ABC和△ADC中，
$\begin{cases} ∠ ABC=∠ ADC,\\ ∠ ACB=∠ ACD,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴$△ ABC≌△ ADC(\mathrm{AAS})$，
∴$AB=AD$。
【答案】
$AB=AD$
【知识点】
邻补角的性质；全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，核心考查通过证明三角形全等来推导线段相等，解题时需注意挖掘题目中的公共边等隐含条件，结合已知条件推导全等所需的判定要素。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时可按照以下思路推导：第一步，根据已知的垂直关系，得到对应角度为90°；第二步，利用三角形外角的性质，∠AFD是△FDC的外角，等于不相邻的两个内角∠C与∠FDC之和，代入已知的∠AFD度数即可求出∠C；第三步，结合∠B=∠C，利用三角形内角和为180°求出∠A的度数；第四步，观察四边形AEDF的内角和为360°，代入已知的三个角的度数，即可求出∠EDF的度数。
【解析】
解：
∵FD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°。
∵∠AFD=∠C+∠FDC=152°，
∴∠C=152°−∠FDC=152°−90°=62°。
∵∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°−2×62°=56°。
∵∠A+∠AED+∠EDF+∠AFD=360°，
∴∠EDF=360°−∠A−∠AED−∠AFD=360°−56°−90°−152°=62°。
【答案】
62°
【知识点】
垂直的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题型，结合垂直性质、三角形外角和内角和定理即可求解，解题的关键是准确识别外角对应的内角，灵活选用内角和公式计算未知角。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）求解第一问首先联想线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AP=BP、AQ=CQ，将△APQ的周长中的AP、AQ做等量替换，即可发现周长与BC的长度相等，代入已知数值就能求出BC的长。
（2）求解第二问，由AP=BP、AQ=CQ，根据等边对等角可得∠B=∠BAP、∠C=∠CAQ，先借助三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，即可得到∠BAP+∠CAQ的和，再用∠BAC减去这个和，就能算出∠PAQ的度数。
【解析】
(1)
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴△APQ的周长为AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC。
∵△APQ的周长为12，
∴BC=12。
(2)
∵AP=BP，AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ。
∵∠BAC=105°，
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°−∠BAC=180°−105°=75°，
∴∠PAQ=∠BAC−(∠BAP+∠CAQ)=105°−75°=30°。
【答案】
(1)BC的长为12；(2)∠PAQ的度数为30°
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是利用线段垂直平分线的性质完成线段和角的等量转化，熟练掌握相关性质即可快速求解，是三角形章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 求∠DCE的度数时，先利用等边三角形三线合一的性质得到CD平分∠ACB，求出∠DCB的度数，再结合CE⊥BC得到∠BCE=90°，用∠BCE减去∠DCB即可求解。
(2) 证明△CEG是等边三角形，已知(1)中已得∠GCE=60°，只需证明另外两个内角也为60°即可。首先根据平移的性质得CD//EF，通过角的等量代换证明AE=CE，再结合AB=CB推出BE垂直平分AC，得到∠GEC=60°，进而证明三个内角都为60°，即可判定△CEG为等边三角形。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵D是AB的中点，CD是等边△ABC的中线，根据三线合一性质，CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠DCE=∠BCE−∠DCB=90°−30°=60°。
(2) 证明：
由平移的性质可知，CD//EF，
∴∠EAC=∠DCA=30°（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠ECA=∠BCE−∠ACB=90°−60°=30°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，且∠AEC=180°−30°−30°=120°，
又
∵AB=CB，AE=CE，
∴点B、E都在线段AC的垂直平分线上，即BE垂直平分AC，
∴BE平分∠AEC，
∴∠GEC=$\frac{1}{2}$∠AEC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
由(1)知∠GCE=60°，
∴在△CEG中，∠EGC=180°−60°−60°=60°，
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC，
∴△CEG是等边三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；
(2) △CEG是等边三角形，证明如上。
【知识点】
等边三角形的性质与判定，平移的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题属于三角形综合基础题，考查多个基础几何知识点的联合应用，解题的核心是通过角的等量代换、三线合一、平移性质逐步推导角的关系，是几何部分的常考典型题型。
【难度系数】
0.7