【分析】
本题可结合等腰三角形性质，利用手拉手全等模型逐一验证各结论：1. 先通过角的和差得到相等夹角，证明△BAD与△CAE全等，判断①；2. 利用全等对应角相等，结合八字形三角形内角和推导∠BPE的度数，判断②；3. 利用全等三角形面积相等、底相等则高相等，结合角平分线的判定定理判断③；4. 当α=60°时，采用截长补短法，在PE上截取等于AP的线段，构造等边三角形和全等三角形，推导线段和差关系判断④。
【解析】
1. 验证结论①：
∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
又
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，故①正确。
2. 验证结论②：
由△BAD≌△CAE得∠ABD=∠ACE，
在△ABM和△PCM中，∠AMB=∠PMC，
∴∠BPC=∠BAC=α，
∴∠BPE=180°-∠BPC=180°-α≠180°-2α，故②错误。
3. 验证结论③：
过点A作AH⊥BD于H，AF⊥CE于F，
∵△BAD≌△CAE，
∴$S_{△ BAD}=S_{△ CAE}$，
又
∵BD=CE，
∴$\frac{1}{2}BD· AH=\frac{1}{2}CE· AF$，得AH=AF，
∵AH⊥BD，AF⊥CE，
∴点A在∠BPE的角平分线上，即PA平分∠BPE，故③正确。
4. 验证结论④：
当α=60°时，∠DAE=60°，AD=AE，
∴△ADE为等边三角形，∠ADE=60°，
由③知PA平分∠BPE，且∠BPE=180°-60°=120°，
∴∠APE=∠APB=60°，
在PE上截取PG=AP，
∴△APG为等边三角形，
∴AG=AP，∠PAG=60°，
∵∠DAE=60°，
∴∠DAP+∠PAN=∠EAG+∠PAN=60°，即∠DAP=∠EAG，
又
∵AD=AE，
∴△DAP≌△EAG（SAS），
∴PD=GE，
∴PE=PG+GE=AP+PD，故④正确。
综上，正确的结论为①③④。
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等边三角形的性质
【点评】本题属于三角形综合题，以手拉手全等模型为核心，同时考查了角平分线的判定、截长补短法证明线段和差关系，对全等三角形的灵活运用能力要求较高，熟练掌握常见几何模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】0.6

【分析】
解题需结合两个核心知识点推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中第三个内角∠C的度数，再根据全等三角形对应角相等的性质，可得∠F与∠C度数相等，最终算出∠F的数值。
【解析】
1. 计算△ABC中∠C的度数
根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，已知∠A=45°，∠B=60°，代入得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-45°-60°=75°$
2. 结合全等三角形性质求∠F
因为$△ ABC≌△ DEF$，全等三角形对应角相等，因此$∠ F=∠ C=75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础常规题，核心考察对全等三角形性质和三角形内角和公式的应用，找准全等三角形的对应角、准确计算角度即可得分。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知点N在AC的垂直平分线上，因此可得AN=CN。要求△ABN的周长，先写出周长的表达式为AB+BN+AN，将AN替换为CN后，可发现BN+CN恰好是BC的长度，代入已知的AB和BC的长度即可求出周长。
【解析】
∵ MN是AC的垂直平分线，点N在MN上，
∴ AN = CN（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
△ABN的周长 = AB + BN + AN，
将AN=CN代入得：
△ABN的周长 = AB + BN + CN = AB + BC。
已知AB=3，BC=13，
∴ △ABN的周长 = 3 + 13 = 16。
【答案】
16
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质做等量代换，将未知的线段和转化为已知长度的线段，简化计算，熟练掌握线段垂直平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和算出△ABC的底角度数；再根据角平分线的定义得到相等的角，两次运用“等角对等边”分别推出AD=BD、BD=BC，最后通过等量代换得到AD的长度。
【解析】
在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=$\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}∠ ABC=36°$。
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD（等角对等边）。
在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC（等角对等边）。
已知BC=2，因此BD=2，故AD=BD=2。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题解题核心是通过角度推导得到相等的角，再利用等腰三角形等角对等边的性质实现线段的等量代换，思路清晰，计算量小，掌握等腰三角形的相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的核心知识。题目仅给出一个内角为50°，未指明该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：一是该50°角为底角，二是该50°角为顶角，分别计算底角度数后验证是否符合三角形内角和要求即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若已知的50°内角是等腰三角形的底角，则底角的度数直接为50°，经检验满足三角形内角和为180°，符合题意；
② 若已知的50°内角是等腰三角形的顶角，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得底角的度数为：$\frac{180° - 50°}{2}=65°$，经检验也符合三角形内角和要求，成立。
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为50°或65°。
【答案】
50°或65°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题的关键是注意题干未明确已知角的类型时，必须分类讨论，同时要验证每种情况是否满足三角形的基本性质，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求∠1+∠2的度数，可结合方格中小正方形边长相等的特征，寻找包含∠1、∠2的三角形的关系。首先观察两个角所在的直角三角形，它们的直角边长度分别对应相等，可先证明两个三角形全等，再通过全等三角形对应角相等的性质，将角进行转化，结合直角三角形两锐角互余的性质即可求出角度和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察图形可知：包含∠1的直角三角形的两条直角边长分别为1、2，包含∠2的直角三角形的两条直角边长也分别为1、2，且两个三角形的夹角均为直角，大小相等。
根据SAS全等判定定理，可得这两个直角三角形全等。
因此∠2与∠1所在直角三角形中除∠1外的另一个锐角相等，记该锐角为∠α，
∵在直角三角形中，两个锐角互余，
∴∠1 + ∠α = 90°，
通过等量代换可得：∠1 + ∠2 = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题借助方格背景考查角度和的计算，解题核心是利用方格边长相等的特征找到全等三角形，通过角的等量代换将陌生的角度和问题转化为熟悉的直角三角形两锐角互余的问题，解题时要注意仔细观察图形特征，找准对应边和对应角。
【难度系数】
0.7

【分析】
我们可以通过两种思路解题：思路1：先由AD、EF都垂直于BC推出AD//EF，结合E是AC中点，可判定EF是△ADC的中位线，中位线长度等于第三边AD的一半；再在Rt△ADC中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质算出AD，即可求得EF。思路2：直接在Rt△EFC中计算，先由E是AC中点求出EC的长度，再结合∠C=30°，利用直角三角形30°角的性质直接求出EF，方法更简便。
【解析】
∵E是AC的中点，AC=4.8m
∴EC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×4.8 = 2.4m
∵EF⊥BC，
∴△EFC是直角三角形
又
∵∠C=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
EF = $\frac{1}{2}$EC = $\frac{1}{2}$×2.4 = 1.2m
【答案】
1.2
【知识点】
直角三角形30°角性质，三角形中位线定理，中点的性质
【点评】
本题结合建筑实际场景考查三角形相关基础性质，解题时可灵活选择思路，核心是熟练掌握直角三角形30°角的性质，能结合已知条件快速定位边角关系。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求CP+EP的最小值，可利用轴对称性质转化线段：首先等边△ABC中AD是BC边上的中线，根据等边三角形三线合一的性质，AD是BC的垂直平分线，因此AD上任意点P到B、C的距离相等，即CP=BP，此时CP+EP可转化为BP+EP。要使BP+EP最小，结合“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，当B、P、E三点共线且BE是AC边上的高时，BP+EP的值最小。又因为等边三角形各边上的高长度相等，AD是BC边上的高为17，因此AC边上的高也为17，即可得到最小值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，AD是BC的垂直平分线，且等边三角形各边上的高长度相等。
∵点P在AD上，
∴CP=BP，
∴CP+EP = BP+EP。
根据垂线段最短可知，当BE为AC边上的高时，BP+EP的最小值等于BE的长度。
∵AD是BC边上的高，AD=17，等边三角形的高相等，
∴BE=AD=17，
即CP+EP的最小值为17。
【答案】
17
【知识点】
等边三角形的性质，最短路径问题，垂直平分线的性质
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型题型，解题核心是利用等边三角形三线合一的性质完成相等线段的转化，再结合垂线段最短确定最小值的位置，侧重对转化思想的考查。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题可先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC及两组直角相等，再结合CE⊥BD利用等角的余角相等推出一组角相等，证明△ABD≌△ACF，得到AD=AF；结合D是AC中点的条件推导出AF和AB的数量关系，结合BF=12求出AB、AC的长度，最后利用三角形面积公式计算△FBC的面积即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
∵CE⊥BD，即∠BEF=90°，
∴∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF。
在△ABD和△ACF中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAD=∠ CAF\\ AB=AC\\ ∠ ABD=∠ ACF\end{array} $
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴AD=AF。
∵D是AC的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB，
∴BF=AB+AF=AB+$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$AB，
∵BF=12，
∴$\frac{3}{2}$AB=12，解得AB=8，
∴AC=AB=8。
又
∵AC⊥BF（∠CAF=90°），
∴$S_{△ FBC}=\frac{1}{2}× BF× AC=\frac{1}{2}×12×8=48$。
【答案】
48
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过角度关系证明三角形全等，建立边之间的数量关系，进而求出对应边长计算面积，是三角形章节的典型考法。
【难度系数】
0.6

【分析】
要证明△AEC≌△BFD，首先梳理已知条件：题目已给出两组对应边相等（CE=DF、AE=BF），此时只需证明这两组边的夹角相等即可利用SAS判定全等。结合已知AE//BF的条件，根据平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，可得到两组相等边的夹角∠AEC=∠BFD，满足SAS的判定要求，即可完成证明。
【解析】
证明:
∵AE//BF,
∴∠AEC=∠BFD.
在△AEC和△BFD中,
$\begin{cases} CE=DF,\\ ∠AEC=∠BFD,\\ AE=BF, \end{cases}$
∴△AEC≌△BFD(SAS).
【答案】
证明:
∵AE//BF,
∴∠AEC=∠BFD.
在△AEC和△BFD中,
$\begin{cases} CE=DF,\\ ∠AEC=∠BFD,\\ AE=BF, \end{cases}$
∴△AEC≌△BFD(SAS).
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是通过平行线的性质得到对应夹角相等，结合已知的边相等条件即可用判定定理完成证明，考察基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.8