三、解答题(共51分)
10.(15分)中国象棋是经典国粹，备受人们喜爱.如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走.例如，图中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处等.若对象棋棋盘建立恰当的平面直角坐标系，可以便于研究和解决问题.
(1)如图，若“帅”所在点的坐标为$(1,-1)$，“马”所在的点的坐标为$(-2,-1)$，则“相”所在点的坐标为________；
(2)如图，若C点的坐标为$(2,2)$，D点的坐标为$(4,0)$，按“马”走的规则，请写出图中“马”由所在的位置走一步可以直接到的点的坐标.
答案：10.(1)(5,1) (2)(0,0),(-1,1),(-3,1)
解析：
【分析】
(1) 求解“相”的坐标，首先根据已知的“帅”$(1,-1)$和“马”$(-2,-1)$的坐标，明确坐标系的正方向：向右为x轴正方向，向上为y轴正方向，每个小方格边长为1个单位长度，再定位“相”对应的横、纵坐标即可。
(2) 先依据$C(2,2)$和$D(4,0)$的坐标确定坐标系的单位长度和正方向，得到“马”的坐标，再结合“马走日”的规则（坐标变化为横移1格纵移2格，或横移2格纵移1格，即坐标变化量为$(±1,±2)$或$(±2,±1)$），筛选出棋盘范围内的有效点坐标即可。
【解析】
(1) 由“帅”$(1,-1)$、“马”$(-2,-1)$的坐标可知，坐标系向右为x轴正方向，向上为y轴正方向，1个小方格的边长对应1个单位长度。观察“相”的位置：横坐标比“帅”的横坐标大4，即$1+4=5$；纵坐标比“帅”的纵坐标大2，即$-1+2=1$，因此“相”的坐标为$(5,1)$。
(2) 由$C(2,2)$、$D(4,0)$的坐标可推出，“马”所在位置的坐标为$(-2,-1)$。根据“马走日”的规则，将坐标变化量代入计算：
① 变化量为$(2,1)$时，$-2+2=0$，$-1+1=0$，得到点$(0,0)$，在棋盘范围内；
② 变化量为$(1,2)$时，$-2+1=-1$，$-1+2=1$，得到点$(-1,1)$，在棋盘范围内；
③ 变化量为$(-1,2)$时，$-2-1=-3$，$-1+2=1$，得到点$(-3,1)$，在棋盘范围内；
其余变化量得到的点均不在棋盘内，不符合要求。
【答案】
(1)$\boldsymbol{(5,1)}$ (2)$\boldsymbol{(0,0)}$，$\boldsymbol{(-1,1)}$，$\boldsymbol{(-3,1)}$
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标，坐标变化规律
【点评】
本题结合中国象棋的规则考查平面直角坐标系的实际应用，解题核心是先根据已知点确定坐标系的基本参数，再结合规则计算对应点的坐标，将传统文化和数学知识结合，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
11.(20分)在平面直角坐标系中,已知点P的坐标为$(2m+4,m-1)$.试分别根据下列条件,求出点P的坐标.
(1)点P在y轴上；
(2)到x轴的距离为2；
(3)点P在第四象限内,且点P到两坐标轴的距离之和为4；
(4)点P在过点$A(2,-3)$且与x轴平行的直线上.
答案：11.解:(1)由题意,得$2m+4=0$,解得$m=-2$,
∴点P的坐标为$(0,-3)$.
(2)由题意,得$|m-1|=2$,解得$m=3$或$m=-1$,
∴点P的坐标为$(10,2)$或$(2,-2)$.
(3)由题意,得$2m+4+[-(m-1)]=4$,解得$m=-1$,
∴点P的坐标为$(2,-2)$.
(4)由题意,得$m-1=-3$,解得$m=-2$,
∴点P的坐标为$(0,-3)$.
解析：
【分析】
解题需结合平面直角坐标系的相关性质逐步分析：①y轴上的点横坐标为0，据此列方程即可求出m，代入得P点坐标；②点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，列绝对值方程求解，注意绝对值方程有两个解；③第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负，点到两坐标轴的距离之和为横坐标绝对值加纵坐标绝对值，结合象限符号去绝对值后列方程求解；④与x轴平行的直线上所有点纵坐标相等，因此P点纵坐标等于A点纵坐标，列方程求解m即可。每小问求出m后代入P点坐标表达式就能得到最终结果。
【解析】
(1) 点P在y轴上时，y轴上点的横坐标为0，因此列方程：
$2m+4=0$，解得$m=-2$，
代入坐标得纵坐标为$m-1=-2-1=-3$，
∴点P的坐标为$(0,-3)$。
(2) 点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，因此列方程：
$|m-1|=2$，去绝对值得$m-1=2$或$m-1=-2$，解得$m=3$或$m=-1$，
当$m=3$时，横坐标$2m+4=10$，纵坐标为2，P坐标为$(10,2)$；
当$m=-1$时，横坐标$2m+4=2$，纵坐标为-2，P坐标为$(2,-2)$。
(3) 第四象限内点横坐标为正、纵坐标为负，到两坐标轴的距离之和为横坐标加纵坐标的相反数，因此列方程：
$2m+4+[-(m-1)]=4$，化简得$m+5=4$，解得$m=-1$，
代入坐标得横坐标为2，纵坐标为-2，
∴点P的坐标为$(2,-2)$。
(4) 与x轴平行的直线上所有点纵坐标相等，因此P点纵坐标等于A点纵坐标-3，列方程：
$m-1=-3$，解得$m=-2$，
代入坐标得横坐标为0，纵坐标为-3，
∴点P的坐标为$(0,-3)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,-3)}$；
(2) $\boldsymbol{(10,2)}$或$\boldsymbol{(2,-2)}$；
(3) $\boldsymbol{(2,-2)}$；
(4) $\boldsymbol{(0,-3)}$。
【知识点】
1. 点的坐标特征
2. 点到坐标轴的距离
3. 平行于坐标轴的直线坐标性质
【点评】
本题是平面直角坐标系基础题型，核心是根据不同条件的坐标特征建立关于参数m的方程求解，解题时需注意绝对值方程的多解性、不同象限内坐标的符号差异，避免漏解或符号错误。
【难度系数】
0.7
12.(16分)(2025·宿迁宿豫区期末)在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$M$的坐标为$(2-t,2t)$.将点$M$到$x$轴的距离记作$d_1$,到$y$轴的距离记作$d_2$.
(1)若$t=4$,则$d_1+d_2=$
10
;
(2)若$t＜0,d_1=d_2$,求点$M$的坐标;
(3)若点$M$在第一象限,且存在常数$m$,使得不论$t$为何值,等式$md_1+6d_2=12$一定成立,求$m$的值.
答案：12.(1)10
(2)解:$\because t＜0,\therefore 2-t＞0,2t＜0$,
$\therefore d_1=|2t|=-2t,d_2=|2-t|=2-t$.
$\because d_1=d_2,\therefore -2t=2-t$,
解得$t=-2,\therefore 2-t=2-(-2)=4,2t=2×(-2)=-4,\therefore M(4,-4)$.
(3)解:$\because$点M在第一象限,$\therefore 2-t＞0,2t＞0$,
$\therefore d_1=|2t|=2t,d_2=|2-t|=2-t$.
$\because md_1+6d_2=12,\therefore m× 2t+6×(2-t)=12$,
即$(2m-6)t=0$,解得$m=3$.
解析：
【分析】
(1) 先将t=4代入点M的坐标表达式得到具体坐标，再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、到y轴的距离是横坐标的绝对值，分别求出d₁、d₂后求和即可。
(2) 先结合t＜0的条件判断点M横、纵坐标的正负性，去掉绝对值符号化简d₁和d₂，再根据d₁=d₂列方程求解t，最后代入得到点M的坐标。
(3) 先结合第一象限内点横纵坐标均为正的特征化简d₁和d₂，代入等式后整理为关于t的式子，由于等式对任意t都成立，说明t的系数为0，据此列方程求解m即可。
【解析】
(1) 当t=4时，2-t=2-4=-2，2t=8，即点M坐标为(-2,8)。
则d₁=|8|=8，d₂=|-2|=2，因此d₁+d₂=8+2=10。
(2) $\because t＜0,\therefore 2-t＞0,2t＜0$，
$\therefore d_1=|2t|=-2t,d_2=|2-t|=2-t$。
$\because d_1=d_2,\therefore -2t=2-t$，
解得$t=-2$，代入得$2-t=2-(-2)=4,2t=2×(-2)=-4$，即点M坐标为(4,-4)。
(3) $\because$点M在第一象限，$\therefore 2-t＞0,2t＞0$，
$\therefore d_1=|2t|=2t,d_2=|2-t|=2-t$。
将d₁、d₂代入$md_1+6d_2=12$，得$m× 2t+6×(2-t)=12$，
整理得$(2m-6)t=0$，由于等式对任意t都成立，因此t的系数为0，即$2m-6=0$，解得$m=3$。
【答案】
(1)10；(2)$M(4,-4)$；(3)$m=3$
【知识点】
点到坐标轴的距离；象限内点的坐标特征；含参等式恒成立
【点评】
本题围绕平面直角坐标系中点的坐标性质设计，由浅入深考查了特殊值计算、方程求解、恒成立问题的处理思路，解题核心是熟练掌握绝对值的化简方法，以及不同条件下点坐标正负性的判断。
【难度系数】
0.7
