【分析】
要确定点$A_n$的横坐标，我们可以先根据平移的坐标变化规律（向右平移横坐标增加，向上平移横坐标不变），先写出前几个点的横坐标，再观察横坐标和序号$n$的对应关系，归纳总结出通用的表达式。
【解析】
解：根据平移规则依次计算各点的横坐标：
1. 点$A_1$的横坐标为$1=2^1-1$；
2. 点$A_2$是$A_1$向右平移2个单位得到，横坐标为$1+2=3=2^2-1$；
3. 点$A_3$是$A_2$向右平移4个单位得到，横坐标为$3+4=7=2^3-1$；
4. 点$A_4$是$A_3$向右平移8个单位得到，横坐标为$7+8=15=2^4-1$；
……
观察上述规律可得，点$A_n$的横坐标为$2^n-1$。
【答案】
$2^n-1$
【知识点】
点的坐标平移、规律探究
【点评】
本题结合点的平移考查规律探究能力，解题关键是掌握平移时横坐标“右加左减”的变化规则，通过列举前几个点的坐标即可总结出通用规律。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题是新定义类坐标变换题，解题首先要明确两种变换的规则：①$f$变换保持点的横坐标不变，纵坐标变为原横、纵坐标的和；②$g$变换保持点的横坐标不变，纵坐标变为原横坐标减原纵坐标。遇嵌套变换时，遵循从内到外的运算顺序，逐步代入计算即可。
【解析】
1. 计算$f(2,1)$：
根据$f(m,n)=(m,m+n)$，将$m=2$，$n=1$代入，横坐标为2，纵坐标为$2+1=3$，故$f(2,1)=(2,3)$。
2. 计算$f[f(1,1)]$：
先算内层$f(1,1)$：代入$f$的变换规则，得$f(1,1)=(1,1+1)=(1,2)$；
再将结果代入外层$f$变换：$f(1,2)=(1,1+2)=(1,3)$，故$f[f(1,1)]=(1,3)$。
3. 计算$f[g(1,1)]$：
先算内层$g(1,1)$：根据$g(m,n)=(m,m-n)$，代入得$g(1,1)=(1,1-1)=(1,0)$；
再将结果代入$f$变换：$f(1,0)=(1,1+0)=(1,1)$，故$f[g(1,1)]=(1,1)$。
【答案】
$(2,3)$；$(1,3)$；$(1,1)$
【知识点】
新定义运算；点的坐标变换；有理数加减运算
【点评】
本题核心考查对新规则的理解能力和运算顺序的掌握，只要准确把握变换规则，按照从内到外的顺序逐步计算，就能顺利得出结果，做题时注意细心计算纵坐标即可避免失分。
【难度系数】
0.85

【分析】
解决点坐标规律探究题，需分别分析横、纵坐标的变化特征，找准循环周期：
1. 先观察纵坐标：对比给出的点的y值，可发现每7个点为一个完整循环，y值依次为$-\sqrt{3},-\sqrt{3},0,0,\sqrt{3},\sqrt{3},0$，循环往复；
2. 再观察横坐标：每经过1个周期（7个点），横坐标总增量为10，同一循环内余数相同的点，y值一致，横坐标按周期叠加固定增量即可；
3. 最后通过计算2026除以周期7的余数，确定$A_{2026}$在循环中的位置，结合规律计算横纵坐标即可。
【解析】
第一步：归纳坐标规律
观察已知点坐标：
$A_1(1,-\sqrt{3}),A_2(3,-\sqrt{3}),A_3(4,0),A_4(6,0),A_5(7,\sqrt{3}),A_6(9,\sqrt{3}),A_7(10,0),A_8(11,-\sqrt{3})···$
① 纵坐标规律：每7个点为1个循环周期，周期内y值依次为$-\sqrt{3},-\sqrt{3},0,0,\sqrt{3},\sqrt{3},0$；
② 横坐标规律：每经过1个周期，横坐标总增量为10，同一余数对应的点，横坐标每次叠加10。
第二步：确定$A_{2026}$在周期中的位置
计算得 $2026÷7=289······3$，即余数为3，对应周期内第3个点的特征：纵坐标为0。
第三步：计算横坐标
周期内第3个点$A_3$的横坐标为4，经过289个周期，横坐标总增量为$289×10=2890$，因此$A_{2026}$的横坐标为$4+2890=2894$。
【答案】
$(2894,0)$
【知识点】
点的坐标规律，周期问题，坐标与图形性质
【点评】
本题属于中等难度的规律探究题，核心是通过观察已知点的坐标特征，找准横、纵坐标的循环周期，再结合带余除法确定所求点的位置，对学生的观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.65

【分析】
解决本题需先观察点的排列规律，重点关注平方数序号对应的点的坐标特征：首先列举已知的特殊点，发现当n为奇数时，第$n^2$个点的坐标为$(n,0)$；当n为偶数时，第$n^2$个点的坐标为$(1,n-1)$。再计算判断2025是哪个整数的平方，结合该整数的奇偶性即可求出对应点的坐标。
【解析】
观察点的排列顺序，总结规律：
当n为正奇数时，第$n^2$个点的坐标为$(n,0)$；
当n为正偶数时，第$n^2$个点的坐标为$(1,n-1)$。
计算得$45^2=2025$，且45是奇数，符合奇数n的规律，因此第2025个点的坐标为$(45,0)$。
【答案】
$(45,0)$
【知识点】
点的坐标规律探究，有理数的乘方
【点评】
本题属于坐标类规律探究题，解题的核心是通过观察特殊点的序号与坐标的对应关系，总结出平方数序号对应的点的坐标规律，再代入数值求解，考查了学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.65

【分析】
(1) 求各点横坐标时，根据质点运动规则判断横坐标变化：上下运动横坐标不变，向左运动横坐标减去运动长度，向右运动横坐标加上运动长度，依次计算即可得到$x_1$到$x_6$的值。
(2) 先计算前4个横坐标的和，再计算$x_5$到$x_8$的和，可发现每4个连续横坐标的和为定值2，8个横坐标对应2组，将两组的和相加即可得到结果。
(3) 由前两问总结规律：每4个连续横坐标的和均为2，先计算100个横坐标包含多少组4个，再用组数乘每组的和2即可得到最终结果。
【解析】
(1) 根据质点运动规则依次计算横坐标：
质点向上运动到$P_1$，横坐标不变，$x_1=1$；
向左运动2个单位到$P_2$，$x_2=1-2=-1$；
向下运动到$P_3$，横坐标不变，$x_3=-1$；
向右运动4个单位到$P_4$，$x_4=-1+4=3$；
向上运动到$P_5$，横坐标不变，$x_5=3$；
向左运动6个单位到$P_6$，$x_6=3-6=-3$。
(2) 分组计算和：
$x_1+x_2+x_3+x_4=1-1-1+3=2$，
$x_5+x_6+x_7+x_8=3-3-3+5=2$，
因此$x_1+x_2+\dots+x_8=2+2=4$。
(3) 根据规律计算：
每连续4个横坐标的和为2，100个横坐标共可分为$100÷4=25$组，
因此$x_1+x_2+\dots+x_{99}+x_{100}=2×25=50$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=-1$，$x_3=-1$，$x_4=3$，$x_5=3$，$x_6=-3$
(2) $4$
(3) $50$
【知识点】
平面直角坐标系，坐标规律探究，有理数加减运算
【点评】
本题是典型的坐标规律探究题，解题核心是通过运动规则归纳出横坐标的分组求和规律，将复杂的多步求和转化为分组定值计算，既考查对坐标变化的理解，也考查观察归纳的能力。
【难度系数】
0.7