【分析】
首先计算长方形ABCD的周长，明确P、Q同时从A点反向出发，每次相遇时两人路程和为长方形周长的整数倍，先计算每次相遇时P运动的总路程，再结合长方形边长确定每次相遇点的位置，找到相遇点的循环周期，最后用2026除以周期得到余数，对应到相应的相遇点即可得到坐标。
【解析】
第一步：计算长方形周长
由顶点坐标得：AB长度为$2 - (-1)=3$，BC长度为$1 - (-1)=2$，因此长方形周长为$2×(3+2)=10$单位长度。
第二步：计算每次相遇的时间及P的路程
P、Q速度和为$2+3=5$单位/秒，第$n$次相遇时两人总路程为$10n$，因此相遇时间$t_n=\frac{10n}{5}=2n$秒，此时P走过的路程为$2×2n=4n$单位长度。
第三步：确定相遇点的循环规律
P沿顺时针从A出发，运动路径为$A→D→C→B→A$，每10个单位长度循环一周：
$n=1$时，$4×1=4$单位：A到D走2单位，剩余2单位沿DC向下走，得$M_1(1,0)$；
$n=2$时，$4×2=8$单位：走8单位后到达B点上方1单位处，得$M_2(-1,0)$；
$n=3$时，$4×3=12$单位，$12\mod10=2$，走2单位到达D点，得$M_3(1,2)$；
$n=4$时，$4×4=16$单位，$16\mod10=6$，走6单位到达BC中点处，得$M_4(0,-1)$；
$n=5$时，$4×5=20$单位，$20\mod10=0$，回到出发点A，得$M_5(-1,2)$；
$n=6$时，$4×6=24$单位，$24\mod10=4$，和$n=1$位置相同，可知相遇点周期为5。
第四步：计算$M_{2026}$的坐标
$2026÷5=405······1$，余数为1，因此$M_{2026}$和$M_1$坐标相同，为$(1,0)$。
【答案】
A
【知识点】
点的坐标规律，相遇问题，周期探究
【点评】
本题将行程相遇问题和平面直角坐标系点的坐标规律结合，解题核心是先求出相遇时的运动路程，找到相遇点的循环周期，再利用余数确定对应位置，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先观察动点的移动规律，可发现每4次移动为一个完整的循环周期，周期内运动路径为向上→向右→向下→向右，每个周期完成后，横坐标增加2，纵坐标回到0。解题时先计算2026除以4的余数，根据余数判断点$A_{2026}$在周期内的位置，再结合周期数计算对应横、纵坐标即可。
【解析】
观察动点的移动规律，可知每4次移动为一个循环，不同余数对应的点的坐标特征如下：
① 当序号n除以4余1时，点纵坐标为1，横坐标为$\frac{n-1}{2}$；
② 当序号n除以4余2时，点纵坐标为1，横坐标为$\frac{n}{2}$；
③ 当序号n除以4余3时，点纵坐标为0，横坐标为$\frac{n-1}{2}$；
④ 当序号n除以4整除时，点纵坐标为0，横坐标为$\frac{n}{2}$。
计算2026除以4的结果：$2026÷4=506······2$，即余数为2，符合上述第②种情况。
横坐标：$\frac{2026}{2}=1013$，纵坐标：1，因此$A_{2026}$的坐标为$(1013,1)$。
【答案】B
【知识点】
点的坐标规律探究、周期问题
【点评】
本题是平面直角坐标系中规律探究的常考题型，解题核心是通过已知点的坐标总结出移动的周期规律以及不同周期位置对应的坐标特征，再代入序号计算即可。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先先确定正方形顶点C的初始坐标，再明确变换规则：沿x轴翻折时横坐标不变，纵坐标变为相反数；向左平移1个单位时横坐标减1，纵坐标不变。通过计算前几次变换后C的坐标，总结出奇偶次变换的坐标规律，最后代入变换次数2026即可求出结果。
【解析】
步骤1：求点C的初始坐标
已知$A(1,1)$，$B(3,1)$，正方形ABCD的边长$AB=3-1=2$，且BC垂直AB向上，因此C点坐标为$(3,1+2)=(3,3)$。
步骤2：分析变换规律
第1次变换：先沿x轴翻折得$(3,-3)$，再向左平移1个单位得$(3-1,-3)=(2,-3)$；
第2次变换：先沿x轴翻折得$(2,3)$，再向左平移1个单位得$(2-1,3)=(1,3)$；
第3次变换：先沿x轴翻折得$(1,-3)$，再向左平移1个单位得$(1-1,-3)=(0,-3)$；
……
归纳规律：n次变换后，横坐标为$3-n$；n为奇数时纵坐标为$-3$，n为偶数时纵坐标为$3$。
步骤3：计算2026次变换后的坐标
2026是偶数，因此横坐标为$3-2026=-2023$，纵坐标为$3$，即C点坐标为$(-2023,3)$。
【答案】C
【知识点】
坐标与平移变换，坐标与翻折变换，规律探究
【点评】
本题考查坐标的对称和平移变换，解题核心是先确定初始点坐标，再通过少量运算总结变换的奇偶性规律，无需逐次计算即可快速求解。
【难度系数】
0.65

【分析】
解题时先根据等边三角形的性质求出初始顶点$A_1$的坐标，再利用中心对称的性质（成中心对称的两个点，连线中点为对称中心）依次求出$A_3$、$A_5$等奇数项$A$点的坐标，观察坐标的变化规律，最后归纳出$A_{2n+1}$的通用坐标即可，也可结合排除法缩小选项范围。
【解析】
1. 求$A_1$的坐标
已知$△ OA_1B_1$是边长为4的等边三角形，因此$OB_1=4$，$A_1$的横坐标为$OB_1$中点的横坐标，即$4÷2=2$；$A_1$的纵坐标为等边三角形的高，即$\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，得$A_1(2,2\sqrt{3})$，$B_1(4,0)$。
2. 利用中心对称求$A_3$的坐标
$△ B_2A_2B_1$与$△ OA_1B_1$关于$B_1$中心对称，因此$A_2$和$A_1$关于$B_1$对称，$B_2$的坐标为$(8,0)$；
$△ B_2A_3B_3$与$△ B_2A_2B_1$关于$B_2$中心对称，因此$A_3$和$A_2$关于$B_2$对称。
设$A_2(x_1,y_1)$，由中点坐标公式：$\frac{2+x_1}{2}=4$，$\frac{2\sqrt{3}+y_1}{2}=0$，解得$x_1=6$，$y_1=-2\sqrt{3}$，即$A_2(6,-2\sqrt{3})$。
设$A_3(x_2,y_2)$，由中点坐标公式：$\frac{6+x_2}{2}=8$，$\frac{-2\sqrt{3}+y_2}{2}=0$，解得$x_2=10$，$y_2=2\sqrt{3}$，即$A_3(10,2\sqrt{3})$。
3. 归纳坐标规律
同理可得$A_5$坐标为$(18,2\sqrt{3})$，观察规律：
$n=1$时，$A_{2×1+1}=A_3$，坐标为$(8×1+2,2\sqrt{3})$；
$n=2$时，$A_{2×2+1}=A_5$，坐标为$(8×2+2,2\sqrt{3})$；
因此$A_{2n+1}$的坐标为$(8n+2,2\sqrt{3})$。
【答案】
A
【知识点】
中心对称的性质，等边三角形的性质，点的坐标规律
【点评】
本题是典型的坐标规律探究题，解题核心是先求出前几个特殊点的坐标，再根据坐标变化特征归纳通用规律，也可通过纵坐标直接排除数值错误的选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.65

【分析】
首先理解“友好点”的定义，按照定义依次计算前几个点的坐标，观察发现坐标存在周期性循环规律，确定循环周期后，用2026除以周期得到余数，根据余数对应周期内的点即可得到$A_{2026}$的坐标。
【解析】
已知点$A_1$的坐标为$(2,1)$，根据友好点的定义依次计算：
1. 求$A_2$：将$A_1(2,1)$代入友好点公式，横坐标为$y-1=1-1=0$，纵坐标为$-x-1=-2-1=-3$，故$A_2(0,-3)$；
2. 求$A_3$：将$A_2(0,-3)$代入公式，横坐标为$-3-1=-4$，纵坐标为$-0-1=-1$，故$A_3(-4,-1)$；
3. 求$A_4$：将$A_3(-4,-1)$代入公式，横坐标为$-1-1=-2$，纵坐标为$-(-4)-1=3$，故$A_4(-2,3)$；
4. 求$A_5$：将$A_4(-2,3)$代入公式，横坐标为$3-1=2$，纵坐标为$-(-2)-1=1$，故$A_5(2,1)$，与$A_1$坐标相同，可知每4个点为一个循环周期。
计算2026除以周期4的余数：$2026÷4=506······2$，余数为2，说明$A_{2026}$的坐标与周期内第2个点$A_2$的坐标相同。
【答案】
$(0,−3)$
【知识点】
新定义点坐标计算；周期规律探究
【点评】
本题属于坐标规律探究类问题，解题核心是先通过计算前几个点的坐标找到循环周期，再利用周期特性推导大序数对应的点坐标，计算过程中要注意符号，避免出错。
【难度系数】
0.7