【分析】
本题是直角三角形边长计算问题，已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边，解题核心是运用勾股定理。首先确定直角三角形的斜边：因为∠C=90°，所以对边AB是斜边，AC、BC为两条直角边，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，变形得到求直角边的公式，代入数值计算即可得到AC的长度。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，因此AB为斜边，AC、BC为直角边。
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
变形得：$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}$
代入$AB=\sqrt{13}$，$BC=3$：
$AC = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 3^2} = \sqrt{13 - 9} = \sqrt{4} = 2$
因此AC的长为2，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，考查勾股定理的直接应用，解题的关键是正确识别直角三角形的斜边和直角边，准确代入公式计算即可，是对勾股定理基础应用的常规考查。
【难度系数】
0.9

【分析】
要判断三条线段能否组成直角三角形，可运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时先对每个选项确定最长线段，再分别计算两条较短线段的平方和、最长线段的平方，对比两者是否相等即可，也可先通过三角形三边关系快速排除无法构成三角形的选项。
【解析】
逐个分析各选项：
A. 线段长为1,2,3，因为1+2=3，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，排除；
B. 线段长为2,3,4，最长边为4，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不满足勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，排除；
C. 线段长为3,4,5，最长边为5，计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，两者相等，满足勾股定理的逆定理，可以构成直角三角形；
D. 线段长为5,6,7，最长边为7，计算得$5^2+6^2=25+36=61$，$7^2=49$，$61≠49$，不满足勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，排除。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直角三角形的判定方法，解题时注意先确定最长边，再代入勾股定理的逆定理验证，避免因边长顺序计算错误失分。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时结合勾股定理和正方形面积的性质思考即可：正方形的面积等于边长的平方，等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此可将正方形面积的和转化为对应斜边构成的正方形的面积，逐步推导最终得到四个小正方形的面积和与最大正方形面积的关系。首先先判断A、B的面积和等于二者相邻斜放正方形的面积，C、D的面积和等于另一个相邻斜放正方形的面积，再判断两个斜放正方形的面积和等于最下方最大正方形的面积，代入数据计算即可。
【解析】
根据勾股定理可得：
1. 正方形A和B的面积之和等于二者之间相邻的斜放正方形的面积；
2. 正方形C和D的面积之和等于二者之间相邻的另一个斜放正方形的面积；
3. 上述两个斜放正方形的面积之和等于最下方边长为7cm的最大正方形的面积。
因此正方形A、B、C、D的面积和 = 最大正方形的面积 = $7×7=49\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积计算相结合，不需要单独求解每个小正方形的面积，通过面积转化即可得到结果，能很好地考查对勾股定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先利用已知的全等直角三角形的性质，得到和DE相关的线段长度：由△ABE和△DAH全等，可得对应边AH=BE、DH=AE，结合∠AHD为直角，可判断△DHE是直角三角形，算出EH的长度后，用勾股定理即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形组成，
∴△ABE≌△DAH，
∴AH=BE=3，DH=AE=4，∠AHD=∠AEB=90°，
∴∠DHE=180°-∠AHD=90°，即△DHE为直角三角形，
又
∵AE=4，
∴EH=AE - AH=4 - 3=1，
在Rt△DHE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{DH^2 + EH^2}=\sqrt{4^2 + 1^2}=\sqrt{17}$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题考查正方形、全等三角形和勾股定理的综合应用，解题关键是利用全等三角形的性质找到直角三角形DHE的两条直角边长度，再用勾股定理求解，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题所求的是不规则四边形的面积，无法直接计算，可通过连接辅助线BD将四边形分割为两个三角形求解：首先在含直角的△ABD中利用勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形，若为直角三角形，分别计算两个三角形的面积后求和即可得到四边形的总面积。
【解析】
连接BD，解题步骤如下：
1. 在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=9 m，AD=12 m，根据勾股定理：
$BD^2=AB^2+AD^2=9^2+12^2=81+144=225$，因此$BD=15\ \mathrm{m}$（边长为正，舍去负解）。
2. 验证△BCD的形状：已知$BC=36\ \mathrm{m}$，$CD=39\ \mathrm{m}$，计算得：
$BD^2+BC^2=15^2+36^2=225+1296=1521$，$CD^2=39^2=1521$，即$BD^2+BC^2=CD^2$。
根据勾股定理的逆定理，△BCD为直角三角形，且$∠ DBC=90°$。
3. 计算总面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× AD=\frac{1}{2}×9×12=54\ \mathrm{m^2}$
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BD× BC=\frac{1}{2}×15×36=270\ \mathrm{m^2}$
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=54+270=324\ \mathrm{m^2}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，割补法求面积
【点评】
本题核心是将不规则四边形转化为规则三角形计算面积，重点考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握辅助线的添加思路是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先明确已知条件为直角三角形的两条直角边长，要求斜边上的高，可按两步思考：第一步，利用勾股定理先算出斜边的长度；第二步，直角三角形的面积有两种计算方式，既可以用两条直角边乘积的二分之一计算，也可以用斜边乘斜边上高的二分之一计算，两种方式算出的面积相等，据此建立方程即可求出斜边上的高。
【解析】
解：已知$Rt△ABC$的两条直角边长分别为6cm、8cm，
根据勾股定理，斜边长度为：$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$（cm）。
设斜边上的高为$h$ cm，根据三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × h$
化简得：$24 = 5h$
解得：$h = 4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
勾股定理；等面积法求线段长
【点评】
本题属于基础几何计算题，考查直角三角形的相关性质，其中等面积法是几何中求解线段长度的常用技巧，熟练掌握该方法可大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7

【分析】
已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，我们可以过顶点A作底边BC的高，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，先利用勾股定理求出高的长度，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是BC边上的中线（等腰三角形三线合一），
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×10 = 5。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD² + BD² = AB²，
∴AD = $\sqrt{AB^2 - BD^2}$ = $\sqrt{13^2 - 5^2}$ = $\sqrt{169 - 25}$ = $\sqrt{144}$ = 12。
∴△ABC的面积S = $\frac{1}{2}$×BC×AD = $\frac{1}{2}$×10×12 = 60。
【答案】
60
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础常考题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质作出底边上的高，将等腰三角形问题转化为直角三角形问题，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求数轴上点B表示的数，已知AC=BC，我们可以先求出AC的长度，即可得到BC的长度，再结合点C对应的数为-1，就能推出点B对应的数。首先先计算原点与点C、原点上方的点构成的直角三角形的斜边长，再结合已知的直角边长2，用勾股定理求出AC的长，最后根据数轴上点的位置关系计算点B对应的数即可。
【解析】
设数轴上表示-1的点为C，原点为O，原点正上方的点为E，由图可知OE⊥数轴，OE=1，OC=1，∠AEC=∠EOC=90°。
1. 在Rt△EOC中，根据勾股定理：
$EC=\sqrt{OC^2+OE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
2. 在Rt△AEC中，已知AE=2，EC=√2，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AE^2+EC^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}$
3. 因为AC=BC，所以BC=√6，又因为点C对应的数为-1，点B在点C右侧，因此点B表示的数为：
$-1+\sqrt{6}=\sqrt{6}-1$
【答案】
$\sqrt{6}-1$
【知识点】
勾股定理；实数与数轴
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题的关键是结合图形特征，两次运用勾股定理求出线段BC的长度，再结合数轴上点的位置求出对应实数，难度适中。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求P、Q两点的距离，我们可以先分别计算出Q点相对于P点在东西（水平）、南北（竖直）方向的直线距离，将这两个距离作为直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理计算斜边长度，也就是PQ的距离。首先整理行走路径：往西为水平向左，往东为水平向右，往北为竖直向上，先计算水平方向的总偏移量，再计算竖直方向的总偏移量，最后用勾股定理求解即可。
【解析】
首先计算Q相对于P的水平（东西方向）距离：
往西走的总路程为$13\ \mathrm{m}+2\ \mathrm{m}=15\ \mathrm{m}$，往东走的路程为$6\ \mathrm{m}$，因此Q在P的西侧，水平距离为$15\ \mathrm{m} - 6\ \mathrm{m} = 9\ \mathrm{m}$。
再计算Q相对于P的竖直（南北方向）距离：
往北走的总路程为$4\ \mathrm{m} + 8\ \mathrm{m} = 12\ \mathrm{m}$，因此Q在P的北侧，竖直距离为$12\ \mathrm{m}$。
此时P、Q的水平距离、竖直距离和PQ构成直角三角形，其中PQ为斜边，根据勾股定理：
$PQ=\sqrt{9^2 + 12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$
【答案】
15
【知识点】
勾股定理；位移计算
【点评】
本题结合实际行走场景考查勾股定理的实际应用，解题的核心是将实际路径分解为水平和竖直两个方向的位移，构造直角三角形求解，解题时注意不要混淆不同方向的行走路程。
【难度系数】
0.7