2.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力. 如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理. 思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于$ c^2 $，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即$ \frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2 $，从而得到等式$ c^2 = \frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2 $，化简便得结论$ a^2 + b^2 = c^2 $. 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新证法：把两个全等的直角$ △ ABC $和$ △ DEA $如图②方式放置，其三边长分别为$ a,b,c $，$ ∠ BAC = ∠ DEA = 90° $，显然$ BC ⊥ AD $.
(1)请用$ a,b,c $分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，$ △ BED $的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理$ a^2 + b^2 = c^2 $；
【方法迁移】(2)如图③，在$ △ ABC $中，AD是BC边上的高，$ AB = 4 $，$ AC = 5 $，$ BC = 6 $，设$ BD = x $，求$ x $的值.
答案：2.解:(1)由题意,得$ S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}c^2 $,
$ S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(b+a)b,S_{△ BED}=\frac{1}{2}(a-b)a. $
$\because S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△ BED},$
$\therefore \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}(a-b)a,$
$\therefore \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab,$
$\therefore a^2+b^2=c^2.$
(2)在$Rt△ ABD$中,由勾股定理,得$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2=16-x^2.$
$\because BD+CD=BC=6,\therefore CD=BC-BD=6-x.$
在$Rt△ ACD$中,由勾股定理,得$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6-x)^2=-11+12x-x^2,$
$\therefore 16-x^2=-11+12x-x^2,\therefore x=\frac{9}{4}.$
解析：
【分析】
(1) 本问采用“双求法”证明勾股定理：首先观察图形，四边形ABDC的对角线AD与BC互相垂直且长度均为c，可用对角线乘积的一半表示其面积；梯形AEDC的上底为a、下底为b、高为b，可直接用梯形面积公式计算；△BED为直角三角形，两条直角边分别为(a-b)和a，可用三角形面积公式计算。再根据面积和差关系：四边形ABDC的面积=梯形AEDC的面积+△BED的面积，列出等式化简即可证得勾股定理。
(2) 本问求BD的长度：AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共直角边，可分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，根据AD²相等建立关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 根据图形特征计算各图形面积：
四边形ABDC中BC⊥AD，且BC=AD=c，因此$S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2} · BC · AD = \frac{1}{2}c^2$；
梯形AEDC的上底$DE=a$，下底$AC=b$，高$AE=b$，因此$S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(DE+AC) · AE = \frac{1}{2}(a+b)b$；
△BED为直角三角形，直角边$BE=a-b$，$DE=a$，因此$S_{△BED}=\frac{1}{2} · BE · DE = \frac{1}{2}(a-b)a$。
由面积和差关系得$S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△BED}$，代入得：
$\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}(a-b)a$
两边同乘2得$c^2 = b(b+a) + a(a-b)$，展开化简：
$c^2 = b^2 + ab + a^2 - ab$，即$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
(2) 已知$BC=6$，$BD=x$，则$CD=BC-BD=6-x$。
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2 - BD^2 = 4^2 - x^2 = 16 - x^2$；
在$Rt△ACD$中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2 - CD^2 = 5^2 - (6-x)^2$，展开得$AD^2=25 - (36 - 12x + x^2) = -11 + 12x - x^2$。
联立两个$AD^2$的表达式得：
$16 - x^2 = -11 + 12x - x^2$
化简得$12x=27$，解得$x=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 已证明$a^2 + b^2 = c^2$；
(2) $x=\frac{9}{4}$
【知识点】
勾股定理、面积法、方程思想
【点评】
本题围绕勾股定理的证明与应用展开，既考查了通过面积割补推导定理的方法，又考查了利用勾股定理建立方程求解线段长度的能力，帮助学生理解“同一量两种表示”的建模思路，是巩固勾股定理相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7
