【分析】
(1) 验证勾股定理采用面积法，思考方向是将五边形ABEFG用两种不同的方式拆分为我们学过的正方形、直角三角形的组合，分别计算面积后利用同一个图形面积相等建立等式，化简即可得到勾股定理的表达式；
(2) 证明三个数是勾股数，第一步先根据完全平方公式计算两个较小数的平方和，验证其等于最大数的平方，第二步确认三个数都是正整数，符合勾股数的定义即可；
(3) 先由勾股定理算出$c^2$的值，观察图形可知空白部分面积等于边长为c的正方形面积减去两个全等直角三角形的面积，代入a、b的数值计算即可；
(4) 结合勾股数的定义，只要写出三个正整数，其中一个为85，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方即可，答案不唯一；
(5) 已知勾股数中最大数的表达式，利用平方差公式，计算最大数的平方与其中一个候选数的平方差，若结果为另一个正整数的平方，即可得到另外两个数的表达式。
【解析】
(1) 如答图所示。
方法一：将五边形ABEFG拆分为边长为b的正方形ABDN、边长为a的正方形MDEF、两个全等的直角三角形$△ MFG$和$△ ANG$，则：
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDN}+S_{正方形MDEF}+S_{△ MFG}+S_{△ ANG}$
$=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$
方法二：将五边形ABEFG拆分为边长为c的正方形ACFG、两个全等的直角三角形$△ ABC$和$△ CEF$，则：
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ACFG}+S_{△ ABC}+S_{△ CEF}$
$=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^2+ab$
因为两种方法计算的是同一图形的面积，所以$a^2+b^2+ab=c^2+ab$，两边同时减去ab，可得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 证明：分别计算三个式子的平方：
$(2mn)^2=4m^2n^2$，$(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4$
将前两个式子的平方相加：
$(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4-2m^2n^2+n^4=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2$
又因为m、n是正整数且$m＞n$，所以$2mn$、$m^2-n^2$、$m^2+n^2$均为正整数，符合勾股数的定义，因此$2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数。
(3) 已知$a=4,b=8$，由勾股定理得$c^2=a^2+b^2=4^2+8^2=80$，单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4×8=16$，两个直角三角形面积和为$2×16=32$。
空白部分面积=正方形ACFG的面积-两个直角三角形的面积和，即$80-32=48$。
(4) 示例：$85^2+3612^2=7225+13046544=13053769=3613^2$，因此85,3612,3613是一组含85的勾股数（答案不唯一）。
(5) 已知最大数为$2n^2+4n+4$，利用平方差公式计算：
$(2n^2+4n+4)^2-(2n^2+4n)^2=[(2n^2+4n+4)-(2n^2+4n)][(2n^2+4n+4)+(2n^2+4n)]$
$=4×(4n^2+8n+4)=16(n+1)^2=(4n+4)^2$
满足勾股定理，因此另外两个数为$2n^2+4n$和$4n+4$。
【答案】
(1) 过程见解析，可推导得$a^2+b^2=c^2$，答图为；
(2) 证明见解析，$2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数；
(3) $\boldsymbol{48}$；
(4) $\boldsymbol{85,3612,3613}$（答案不唯一）；
(5) $\boldsymbol{2n^2+4n}$；$\boldsymbol{4n+4}$
【知识点】
勾股定理的验证、勾股数的定义、整式乘法公式
【点评】
本题以拼图活动为载体考查勾股定理的验证及勾股数的相关探究，融合了面积法、整式运算等知识，体现了数形结合的数学思想，能够有效提升学生的逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6