【分析】
(1)要证DE=DF，可通过证明三角形全等实现。已知△ABC是等腰直角三角形，D为斜边BC中点，首先连接AD，利用等腰直角三角形斜边中线的性质可得AD=BD、∠B=∠DAF=45°，再结合DE⊥DF得到的角的互余关系，推出∠BDE=∠ADF，即可证△BDE≌△ADF，得到DE=DF。
(2)要证BE²+CF²=EF²，可借助勾股定理转化线段。由(1)的全等结论得BE=AF，结合AB=AC可推出AE=CF，在Rt△AEF中利用勾股定理即可得到对应结论。
(3)先根据(2)的结论求出EF的长度，再结合(1)中DE=DF、∠EDF=90°，可知△DEF是等腰直角三角形，求出直角边长的平方后代入三角形面积公式即可计算面积。
【解析】
(1)证明:如答图,连接AD.
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠C=∠B=45°.
∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B,∠ADC=90°.
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=90°,
∴∠ADF+∠FDC=90°,∠FDC+∠BDE=90°,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,$\begin{cases} ∠B=∠DAF, \\ BD=AD, \\ ∠BDE=∠ADF, \end{cases}$
∴△BDE≌△ADF,
∴DE=DF.

(2)证明:
∵△BDE≌△ADF,
∴BE=AF.
∵AB=AC,
∴AB-BE=AC-AF,即CF=AE,
在Rt△AEF中,由勾股定理得$EF^2=AE^2+AF^2$,
∴$EF^2=CF^2+BE^2$,
即$BE^2+CF^2=EF^2$.
(3)解:把BE=6，CF=8代入(2)的结论，得$EF^2=6^2+8^2=100$，即$EF=10$。
由(1)可知DE=DF，且∠EDF=90°，故△DEF是等腰直角三角形。
设DE=DF=x，在Rt△DEF中，由勾股定理得$x^2+x^2=EF^2=100$，解得$x^2=50$。
则△DEF的面积为$\frac{1}{2}DE·DF=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}×50=25$。
【答案】
(1)证明见解析，；
(2)证明见解析；
(3)25
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是夹半角模型结合勾股定理的典型习题，解题关键是通过连接等腰直角三角形的斜边中线构造全等三角形，实现线段的等量转化，能够有效锻炼几何综合推理能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题是等腰直角三角形与勾股定理结合的证明探究题，核心解题思路是通过构造全等三角形，将分散的待研究线段转移到同一个直角三角形中，利用勾股定理推导线段平方关系：
(1) 要证明$BD^2+CE^2=DE^2$，该式符合勾股定理的结构，因此需要把BD、CE、DE转化到同一个直角三角形内。已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC、∠BAC=90°，可通过构造旋转全等的方法辅助解题：作AF⊥AD且AF=AD，先证明△EAD和△EAF全等得到DE=EF，再证明△BAD和△CAF全等得到BD=CF，同时可推导出∠ECF为直角，最后在Rt△ECF中应用勾股定理即可完成证明。
(2) 探究BE、CD、DE构成的三角形形状，优先验证是否满足勾股定理逆定理。沿用(1)的构造思路，作AF⊥AE且AF=AE，先证△FAC≌△EAB得到BE=CF，再证△DAF≌△DAE得到DF=DE，同时推导出∠DCF为直角，在Rt△DCF中应用勾股定理即可得到三条线段的平方关系，判断三角形的形状。
【解析】
(1) 证明：如答图①，过点A作AF⊥AD，且AF=AD，连接CF，EF。

∵∠DAE=45°，∠DAF=90°，
∴∠DAE=∠EAF=45°。
在△EAD和△EAF中，
$\begin{cases} EA=EA, \\ ∠EAD=∠EAF, \\ AD=AF, \end{cases}$
∴△EAD≌△EAF(SAS)，
∴DE=EF。
∵∠BAC=90°，∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF。
在△BAD和△CAF中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAF, \\ AD=AF, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°。
∵∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴$EC^2+CF^2=EF^2$，
又
∵DE=EF，BD=CF，
∴$BD^2+CE^2=DE^2$。
(2) 解：结论：以线段BE，CD，DE的长度为三边长的三角形是直角三角形。
理由：如答图②，作AF⊥AE，使得AF=AE，连接DF，CF。

∵∠EAF=∠BAC=90°，
∴∠FAC=∠EAB。
在△FAC和△EAB中，
$\begin{cases} AF=AE, \\ ∠FAC=∠EAB, \\ AC=AB, \end{cases}$
∴△FAC≌△EAB(SAS)，
∴BE=CF，∠ACF=∠EBA=45°。
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=∠ACB+∠ACF=90°。
∵∠DAE=135°，∠EAF=90°，
∴∠DAF=360°-135°-90°=135°，
∴∠DAF=∠DAE。
在△DAF和△DAE中，
$\begin{cases} AD=AD, \\ ∠DAF=∠DAE, \\ AF=AE, \end{cases}$
∴△DAF≌△DAE(SAS)，
∴DF=DE。
在Rt△DCF中，由勾股定理得$DF^2=DC^2+CF^2$，
又
∵DF=DE，CF=BE，
∴$DE^2=DC^2+BE^2$，
∴以线段BE，CD，DE的长度为三边长的三角形是直角三角形。
【答案】
(1)证明:如答图①,过点A作AF⊥AD,且AF=AD,连接CF,EF.

∵∠DAE=45°,∠DAF=90°,
∴∠DAE=∠EAF=45°.
在△EAD和△EAF中,$\begin{cases} EA=EA, \\ ∠EAD=∠EAF, \\ AD=AF, \end{cases}$
∴△EAD≌△EAF(SAS),
∴DE=EF.
∵∠BAC=90°,∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF.
在△BAD和△CAF中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAF, \\ AD=AF, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴BD=CF,∠B=∠ACF=45°.
∵∠ACB=45°,
∴∠ECF=90°,
∴$EC^2+CF^2=EF^2$,
∴$BD^2+CE^2=DE^2$.
(2)解:结论:以线段BE,CD,DE的长度为三边长的三角形是直角三角形.
理由:如答图②,作AF⊥AE,使得AF=AE,连接DF,CF.

∵∠EAF=∠BAC=90°,
∴∠FAC=∠EAB.
在△FAC和△EAB中,$\begin{cases} AF=AE, \\ ∠FAC=∠EAB, \\ AC=AB, \end{cases}$
∴△FAC≌△EAB(SAS),
∴BE=CF,∠ACF=∠EBA=45°.
∵∠ACB=45°,
∴∠FCB=90°.
∵∠DAE=135°,∠EAF=90°,
∴∠DAF=360°-135°-90°=135°,
∴∠DAF=∠DAE.
∵AD=AD,AF=AE,
∴△DAF≌△DAE(SAS),
∴DF=DE.
在Rt△DCF中,
∵$DF^2=DC^2+CF^2$,
∴$DE^2=DC^2+BE^2$,
∴以线段BE,CD,DE的长度为三边长的三角形是直角三角形.
【知识点】
全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是等腰直角三角形中夹半角模型的典型习题，解题的核心是通过构造旋转全等，将分散的待研究线段集中到同一个直角三角形中，结合勾股定理完成推导，对辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.5