【分析】
要证明$BD^2 + CE^2 = DE^2$这类线段平方和的结论，优先联想到勾股定理，但BD、CE、DE在同一条直线上，无法直接用勾股定理，需要通过几何变换转移线段。本题属于等腰直角三角形的“夹半角”模型（$∠ DAE=45°$是直角$∠ BAC$的一半），可通过旋转$△ ABD$，将BD转化为其他线段，把BD和CE整合到同一个直角三角形中，再证明DE与该直角三角形的斜边相等，即可完成证明。
【解析】
证明：将$△ ABD$绕点A逆时针旋转90°，使AB与AC重合，得到$△ ACF$，连接EF。
由旋转的性质可得：$AD=AF$，$BD=CF$，$∠ ABD=∠ ACF$，$∠ BAD=∠ CAF$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$
$\therefore ∠ B=∠ ACB=45°$
$\therefore ∠ ACF=∠ ABD=45°$
$\therefore ∠ ECF=∠ ACB + ∠ ACF=45° + 45°=90°$
在$Rt△ ECF$中，由勾股定理得：$CE^2 + CF^2 = EF^2$，
代入$CF=BD$，可得$BD^2 + CE^2 = EF^2$。
$\because ∠ BAC=90°$，$∠ DAE=45°$
$\therefore ∠ BAD + ∠ CAE = 90° - 45° = 45°$
结合$∠ BAD=∠ CAF$，可得$∠ CAF + ∠ CAE = ∠ EAF = 45°$，即$∠ DAE=∠ EAF=45°$。
在$△ ADE$和$△ AFE$中：
$\begin{cases}AD=AF \\∠ DAE=∠ FAE \\AE=AE\end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ AFE$（SAS）
$\therefore DE=EF$
将$DE=EF$代入$BD^2 + CE^2 = EF^2$，得$BD^2 + CE^2 = DE^2$。
【答案】
$BD^2 + CE^2 = DE^2$
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是等腰直角三角形夹半角模型的典型考题，核心解题思路是通过旋转构造全等三角形与直角三角形，将分散的线段集中到同一个直角三角形中，结合勾股定理完成线段平方关系的证明，熟练掌握该模型可大幅提升同类几何题的解题效率。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时我们结合已知的等角、等边条件，先通过角的等量代换证全等得到边和角的关系，再结合夹半角的角度特征判定目标三角形全等，最后利用三角形三边关系、勾股定理逐一验证四个结论即可。第一步先由∠BAC=∠DAF=90°推导∠FAB=∠DAC，证明△FAB≌△DAC，得到BF=DC、∠ABF=∠C，再结合等腰直角△ABC的角度特征得到∠FBE=90°；第二步由∠DAF=90°、∠DAE=45°得∠FAE=∠DAE=45°，结合公共边AE、AF=AD证明△AED≌△AEF，验证①；再判断没有条件支撑△AED的两边相等，排除②；第三步由全等得EF=DE，在Rt△FBE中用三边关系得BE+BF＞EF，替换边后验证③；用勾股定理得BE²+BF²=EF²，替换边后可知④错误。
【解析】
1. 验证结论①：
已知∠BAC=∠DAF=90°，则$∠ BAC - ∠ BAD = ∠ DAF - ∠ BAD$，即$∠ DAC=∠ FAB$。
在$△ FAB$和$△ DAC$中：
$\begin{cases}AB=AC\\∠ FAB=∠ DAC\\AF=AD\end{cases}$
∴$△ FAB≌△ DAC$（SAS），得$BF=DC$，$∠ ABF=∠ C$。
∵$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，
∴$∠ ABC=∠ C=45°$，则$∠ FBE=∠ ABF+∠ ABC=90°$。
又
∵$∠ DAF=90°$，$∠ DAE=45°$，
∴$∠ FAE=∠ DAF - ∠ DAE=45°=∠ DAE$。
在$△ AED$和$△ AEF$中：
$\begin{cases}AD=AF\\∠ DAE=∠ FAE\\AE=AE\end{cases}$
∴$△ AED≌△ AEF$（SAS），故①正确。
2. 验证结论②：
题中没有条件可证明$AE=AD$或$AE=DE$或$AD=DE$，无法判定$△ AED$为等腰三角形，故②错误。
3. 验证结论③：
由$△ AED≌△ AEF$得$EF=DE$，又已证$BF=DC$。
在$△ FBE$中，根据三角形三边关系：$BE+BF＞EF$，代入等量关系得$BE+DC＞DE$，故③正确。
4. 验证结论④：
已证$∠ FBE=90°$，在$Rt△ FBE$中，由勾股定理得$BE^2+BF^2=EF^2$，代入$BF=DC$、$EF=DE$得$BE^2+DC^2=DE^2$，故④错误。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
①③
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理
【点评】
本题是夹半角模型的典型应用，解题核心是通过全等证明实现边的等量转换，再结合三角形三边关系、勾股定理判断结论，对全等三角形的应用能力和逻辑推理能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时先结合等腰直角$△ ABC$的性质与已知垂直条件，推导相等的角，证明$△ ABF≌△ ACE$，即可判断结论①；再结合勾股定理得到$FD=DE$，证明$△ AFD≌△ AED$，推导$∠ DAE$的度数判断②；接着利用全等得到$AD⊥ EF$和$D$是$EF$中点，结合三角形面积公式推导③；最后在$\mathrm{Rt}△ FBE$中用勾股定理，结合等腰直角三角形的边的关系判断④即可。
【解析】
1. 证明结论①：
$\because ∠ BAC=90°$，$FA⊥ AE$，$\therefore ∠ BAC=∠ FAE=90°$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ FAC = ∠ FAE - ∠ FAC$，即$∠ FAB=∠ EAC$。
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ ACE=180°-∠ ACB=135°$。
$\because FB⊥ BC$，$\therefore ∠ FBC=90°$，$\therefore ∠ ABF=∠ FBC+∠ ABC=90°+45°=135°$，
$\therefore ∠ ABF=∠ ACE$。
在$△ ABF$和$△ ACE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ FAB=∠ EAC\\ AB=AC\\ ∠ ABF=∠ ACE\end{array} $
$\therefore △ ABF≌△ ACE$（$\mathrm{ASA}$），$\therefore AF=AE$，故①正确。
2. 证明结论②：
由$△ ABF≌△ ACE$得$BF=CE$，
已知$BD^2 + CE^2 = DE^2$，代入得$BD^2 + BF^2 = DE^2$。
$\because FB⊥ BC$，$\therefore \mathrm{Rt}△ FBD$中，$BD^2 + BF^2 = FD^2$，
$\therefore FD=DE$。
在$△ AFD$和$△ AED$中：
$\{\begin{array}{l}AF=AE\\ AD=AD\\ FD=DE\end{array} $
$\therefore △ AFD≌△ AED$（$\mathrm{SSS}$），$\therefore ∠ FAD=∠ EAD$。
$\because ∠ FAE=90°$，$\therefore ∠ DAE=\frac{1}{2}∠ FAE=45°$，故②正确。
3. 证明结论③：
由$△ AFD≌△ AED$得$∠ ADF=∠ ADE$，
$\because ∠ ADF+∠ ADE=180°$，$\therefore ∠ ADE=90°$，即$AD⊥ EF$。
又$\because FD=DE$，$\therefore D$是$EF$中点，$DE=\frac{1}{2}EF$。
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AD × DE = \frac{1}{2} × AD × \frac{1}{2}EF = \frac{1}{4}AD·EF$，故③正确。
4. 证明结论④：
在$\mathrm{Rt}△ FBE$中，$∠ FBE=90°$，由勾股定理得$BF^2 + BE^2 = EF^2$。
$\because BF=CE$，$\therefore CE^2 + BE^2 = EF^2$。
$\because △ FAE$是等腰直角三角形，$AF=AE$，$∠ FAE=90°$，
$\therefore EF^2=AE^2 + AF^2=2AE^2$，
$\therefore CE^2 + BE^2 = 2AE^2$，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，需要结合已知的垂直、线段平方关系逐步推导全等三角形和角、线段的等量关系，对逻辑推理能力有一定要求，熟练掌握全等三角形和勾股定理是解题的关键。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题是等腰直角三角形的夹半角问题，解题思路为：首先通过旋转构造全等三角形，将分散的线段BD、CE转化到同一个直角三角形中，利用全等性质得到DE与转化后线段的等量关系，再用勾股定理求出DE的长度；最后求出斜边BC的总长，结合等腰直角三角形的边长与面积关系计算面积。
【解析】
1. 求DE的长度：
将$△ ABD$绕点A逆时针旋转$90°$，使AB与AC重合，得到$△ ACF$，连接EF。
由旋转的性质可得：$AD=AF$，$∠ BAD=∠ CAF$，$BD=CF=4$，$∠ ACF=∠ B=45°$。
$\because ∠ BAC=90°$，$∠ DAE=45°$，
$\therefore ∠ BAD+∠ CAE=∠ BAC-∠ DAE=45°$，
$\therefore ∠ CAF+∠ CAE=∠ EAF=45°$，即$∠ DAE=∠ EAF$。
在$△ ADE$和$△ AFE$中：
$\begin{cases}AD=AF \\∠ DAE=∠ FAE \\AE=AE\end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ AFE(\mathrm{SAS})$，$\therefore DE=EF$。
又$\because ∠ ACB=45°$，$\therefore ∠ ECF=∠ ACB+∠ ACF=45°+45°=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，$CE=3$，$CF=4$，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$\therefore DE=5$。
2. 求$△ ABC$的面积：
斜边$BC=BD+DE+EC=4+5+3=12$，
设等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边$AB=AC=a$，由勾股定理得：
$a^2+a^2=BC^2=12^2$，即$2a^2=144$，解得$a^2=72$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}×72=36$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{36}$
【知识点】
全等三角形判定与性质，勾股定理，图形的旋转
【点评】
本题核心是运用旋转构造全等实现线段的转化，将分散的条件集中到直角三角形中求解，既考查了几何变换的应用，也结合了勾股定理和等腰直角三角形的性质，是几何综合类的典型题。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题属于等腰直角三角形中的“夹半角”模型问题，解题核心是通过旋转变换将分散的CF、BE、EF三条线段转化到同一个三角形中。首先利用等腰直角三角形的边、角特征，旋转其中一个小三角形使相等的直角边重合，再通过边角关系证明三角形全等，将EF转化为新三角形的边，最后证明新三角形为直角三角形，用勾股定理和三角形面积公式求解即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB，∠BAC=90°，∠C=∠ABC=45°。
将△ACF绕点A顺时针旋转90°，使AC与AB重合，得到△ABG，连接EG。
由旋转的性质得：BG=CF=3，AG=AF，∠BAG=∠CAF，∠ABG=∠C=45°。
∵∠EAF=45°，
∴∠CAF+∠BAE=∠BAC - ∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠BAG+∠BAE=∠GAE=45°，即∠GAE=∠EAF。
在△AEF和△AEG中：
$\{\begin{array}{l} AF=AG\\ ∠ EAF=∠ EAG\\ AE=AE\end{array} $
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴EG=EF=5。
又
∵∠GBE=∠ABG+∠ABC=45°+45°=90°，
∴△GBE是直角三角形，其三条边恰好对应CF、BE、EF。
根据勾股定理得：$BE=\sqrt{EG^2 - BG^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
∴该三角形的面积为$\frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
夹半角模型，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题考查几何变换在三角形问题中的应用，通过旋转构造全等三角形将分散的线段集中到同一图形中是解题的关键，能够有效考查学生的逻辑推理能力和几何模型的应用能力。
【难度系数】
0.6