【分析】
本题以矩形折叠为背景，考查折叠性质、勾股定理及全等三角形的应用，解题思路如下：
(1)①折叠后AE=AB=10，在Rt△ADE中，已知AD=8，直接用勾股定理即可求出DE；作图时以A为圆心AB长为半径画弧交CD于E，再作∠EAB的角平分线交BC于P，连接EP即可得到△AEP。
(1)②设BP=x，根据折叠性质得到PE=BP=x，∠E=∠B=90°，结合已知FC=FE，通过ASA证明△EFG≌△CFP，得到边的等量关系，进而将Rt△ADG的三边用含x的代数式表示，利用勾股定理列方程求解x即可。
(2)分两种情况讨论：①当Q在线段AB上时，②当Q在线段BA的延长线上时。两种情况均先利用折叠性质得到B'C=BC=8，∠CB'Q=90°，在Rt△CB'D中求出DB'的长度，再将Rt△ADQ的三边用含y的代数式表示，利用勾股定理列方程求解，最后汇总结果即可。
【解析】
(1)①作图如答图①所示：
折叠后AE=AB=10，在Rt△ADE中，AD=8，由勾股定理得$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
②设$BP=x$，由翻折的性质可知：$AE=AB=10$，$PE=BP=x$，$∠E=∠B=90°$。
∵$∠C=∠E=90°$，$EF=CF$，$∠GFE=∠PFC$，
∴$△ EFG≌△ CFP(ASA)$，
∴$GF=PF$，$GE=CP=BC-BP=8-x$，
∴$CG=GF+PF=PE=x$，
∴$DG=CD-CG=10-x$，$AG=AE-GE=10-(8-x)=x+2$。
在$Rt△ AGD$中，由勾股定理得：$AD^2+DG^2=AG^2$，
即$8^2+(10-x)^2=(x+2)^2$，
展开整理得$24x=160$，
解得$x=\frac{20}{3}$，即$BP$的长为$\frac{20}{3}$。
(2)设$BQ=y$，分两种情况讨论：
情况1：当点$Q$在线段$AB$上时，如答图②所示：
由翻折的性质可知：$B'C=BC=8$，$QB'=BQ=y$，$∠CB'Q=∠B=90°$，
∴$∠DB'C=180°-∠CB'Q=90°$，
在$Rt△ CB'D$中，由勾股定理得：$DB'^2=CD^2-B'C^2=10^2-8^2=36$，
∴$DB'=6$，
∴$DQ=DB'+QB'=6+y$，$AQ=AB-BQ=10-y$，
在$Rt△ ADQ$中，由勾股定理得：$AD^2+AQ^2=DQ^2$，
即$8^2+(10-y)^2=(y+6)^2$，
展开整理得$32y=128$，
解得$y=4$。
情况2：当点$Q$在线段$BA$的延长线上时，如答图③所示：
由翻折的性质可知：$B'C=BC=8$，$QB'=BQ=y$，$∠CB'Q=∠B=90°$，
在$Rt△ CB'D$中，由勾股定理得：$DB'^2=CD^2-B'C^2=10^2-8^2=36$，
∴$DB'=6$，
∴$DQ=QB'-DB'=y-6$，$AQ=BQ-AB=y-10$，
在$Rt△ ADQ$中，由勾股定理得：$AD^2+AQ^2=DQ^2$，
即$8^2+(y-10)^2=(y-6)^2$，
展开整理得$8y=128$，
解得$y=16$。
综上，$BQ$的长为4或16。
【答案】
(1)①6，作图如下：
②$BP$的长为$\frac{20}{3}$；
(2)$BQ$的长为4或16，作图如下：
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是矩形折叠类的典型综合题，解题时要抓住折叠前后对应边相等、对应角相等的核心性质，结合全等三角形、勾股定理建立方程求解，同时要注意分类讨论思想的运用，避免因漏解导致错误，方程思想是解决这类几何计算问题的常用思路。
【难度系数】
0.6
