【分析】
(1) 第一空：已知Rt△AOB中∠MON=90°，斜边AB=10，直角边OA=6，直接利用勾股定理即可求得OB的长度；第二空：AD是∠OAB的角平分线，根据角平分线的性质，过D作AB的垂线，可得OD与该垂线段长度相等，结合HL证明全等得到AH=OA，设OD为未知数，在小直角三角形中列勾股方程即可求解OD。
(2) 要判断OE和BE的数量关系，观察到AD是角平分线且BE⊥AD，可通过延长BE、AO交于点F，先利用ASA证明△AEB≌△AEF得到E是BF中点，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可推出OE=BE。
(3) △AOB是直角三角形，斜边AB固定为10，根据勾股定理得OA²+OB²=100，结合完全平方公式的非负性可求出OA·OB的最大值，进而得到三角形面积的最大值。
【解析】
(1) 在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=10，OA=6，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$；
过D作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠OAB，DO⊥AO，DH⊥AB，
∴OD=DH，
又
∵AD=AD，
∴Rt△AOD≌Rt△AHD（HL），
∴AH=OA=6，
∴HB=AB-AH=4，
设OD=x，则DH=x，DB=8-x，
在Rt△DHB中，$DH^2+HB^2=DB^2$，即$x^2+4^2=(8-x)^2$，
解得x=3，即OD=3。
(2) 猜想$OE=BE$，理由如下：
延长AO、BE交于点F，则$∠AEB=∠AEF=∠BOF=90°$，
∵AD平分$∠OAB$，
∴$∠EAF=∠EAB$，
在△AEB和△AEF中：
$\begin{cases}∠EAB=∠EAF \\AE=AE \\∠AEB=∠AEF\end{cases}$
∴$△AEB≌△AEF$（ASA），
∴$BE=EF$，即E为BF中点，
在Rt△BOF中，E是斜边BF的中点，
∴$OE=\frac{1}{2}BF=BE$。
(3) 在Rt△AOB中，$OA^2+OB^2=AB^2=100$，
△AOB的面积$S=\frac{1}{2}OA·OB$，
由完全平方公式得：$(OA-OB)^2=OA^2+OB^2-2OA·OB≥0$，
∴$2OA·OB≤OA^2+OB^2=100$，即$OA·OB≤50$，
∴$S=\frac{1}{2}OA·OB≤\frac{1}{2}×50=25$，即△AOB面积的最大值为25。
【答案】
(1) 8；3
(2) $OE=BE$。理由:如答图,延长AO,BE交于点F,则$∠AEB=∠AEF=∠BOF=90°$.
又
∵AD平分$∠OAB$,
∴$∠EAF=∠EAB$.
又
∵$AE=AE$,
∴$△AEB≌△AEF$(ASA),
∴$BE=EF$.
又
∵$∠BOF=90°$,$\therefore OE=\frac{1}{2}BF=BE$.
(3) 25
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形相关性质、全等三角形的构造以及动态最值的求解，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，能够根据“角平分线+垂线”的特征构造全等三角形，解决最值问题时要抓住不变量结合完全平方公式分析。
【难度系数】
0.6
