【分析】
这是一道勾股定理的实际应用题，解题思路如下：首先观察图形可知△CAB和△CAD都是直角三角形，直角顶点为A。第一步先在初始的Rt△CAB中，已知AC和BC的长度，用勾股定理算出初始状态下船到岸边的水平距离AB；第二步根据收绳速度和时间，计算7秒后剩余绳子CD的长度；第三步在Rt△CAD中，用勾股定理算出此时船到岸边的水平距离AD；最后用AB减去AD即可得到船向岸边移动的距离。
【解析】
解：由题意可知∠CAB=90°，AC=8m，初始绳长BC=17m，收绳速度为1m/s，收绳时间7s。
1. 在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$
2. 7秒后收绳的长度为：$1×7=7\ \mathrm{m}$，因此此时绳长$CD=17-7=10\ \mathrm{m}$
3. 在Rt△ACD中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$
4. 船向岸边移动的距离$BD=AB-AD=15-6=9\ \mathrm{m}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的典型应用，核心是从实际问题中抽象出直角三角形模型，通过两次运用勾股定理计算对应边长，再作差得到结果，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力和对勾股定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题给出“垂美四边形”的定义，核心特征是对角线互相垂直，结合已知的AB、CD边长，求$AD^2 + BC^2$的值。解题思路如下：第一步，根据对角线互相垂直可知图中四个三角形都是直角三角形；第二步，利用勾股定理分别将$AD^2$、$BC^2$、$AB^2$、$CD^2$用OA、OB、OC、OD的平方表示；第三步，通过代数变形会发现$AD^2 + BC^2$与$AB^2 + CD^2$的表达式完全相同，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是“垂美”四边形，
∴ $AC⊥BD$，
∴ $∠AOB=∠AOD=∠BOC=∠COD=90°$。
根据勾股定理可得：
$AD^2 = OA^2 + OD^2$，$BC^2 = OB^2 + OC^2$，
∴ $AD^2 + BC^2 = OA^2 + OD^2 + OB^2 + OC^2$ ①
又
∵ $AB^2 = OA^2 + OB^2$，$CD^2 = OC^2 + OD^2$，
∴ $AB^2 + CD^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2 + OD^2$ ②
由①②可得：$AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2$，
代入$AB=6$，$CD=10$得：
$AD^2 + BC^2 = 6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136$。
【答案】
136
【知识点】
勾股定理，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查勾股定理的简单应用，解题的关键是利用勾股定理将所求平方和进行等量转化，无需单独求出各线段长度，通过整体代换即可快速求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先根据C是AB中点求出AC的长度，再由DC垂直AB得到直角三角形ACD，利用勾股定理求出AD的长，同理可得BD的长，用AD+BD的和减去原来AB的长度，即可得到橡皮筋拉长的长度。
【解析】
解：
∵AB长为48cm，C是AB的中点，
∴AC=BC=48÷2=24cm，
∵DC⊥AB，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AC=24cm，CD=7cm，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25$cm，
同理可得BD=25cm，
∴拉长后橡皮筋总长度为AD+BD=25+25=50cm，
∴橡皮筋被拉长的长度为50-48=2cm。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；线段中点的定义
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类基础题，解题关键是结合垂直关系构造直角三角形，再利用勾股定理求出斜边长度，计算过程简单，易错点为计算勾股定理时平方运算出错。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先观察图形可知△ABC和△DCE均为等腰三角形（AB=BC，CD=DE），对于等腰三角形求底边长，我们通常利用“三线合一”作底边上的高，将等腰三角形拆分为两个直角三角形，结合勾股定理计算边长；再结合CD⊥BC的垂直条件，可证两个直角三角形全等，得到对应边相等，从而求出CE一半的长度，最终得到CE的总长度。
【解析】
解：分别过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥CE于点N，
∴∠BMC=∠CND=90°，
∵AB=BC=10cm，BM⊥AC，AC=12cm，
根据等腰三角形三线合一的性质，得$CM=\frac{1}{2}AC=6\mathrm{cm}$，
在Rt△BMC中，由勾股定理得：
$BM=\sqrt{BC^2-CM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\mathrm{cm}$，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCM+∠DCN=180°-90°=90°，
又
∵在Rt△BMC中，∠BCM+∠CBM=90°，
∴∠CBM=∠DCN，
在△BCM和△CDN中：
$\begin{cases}∠ BMC=∠ CND \\∠ CBM=∠ DCN \\BC=CD\end{cases}$
∴△BCM≌△CDN（AAS），
∴CN=BM=8cm，
又
∵CD=DE=10cm，DN⊥CE，
根据等腰三角形三线合一的性质，得$CE=2CN=2×8=16\mathrm{cm}$。
【答案】
16
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题将等腰三角形性质、勾股定理和全等三角形的判定相结合考查，解题关键是正确作出辅助线构造全等直角三角形，打通已知条件和所求线段之间的关联。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1)判断三角形形状时，已知三边长度，可优先考虑勾股定理的逆定理：先计算两条较短边的平方和，再与最长边的平方对比，若二者相等，则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。
(2)求AC的长时，已知AC=AB，可设AC=AB为未知数x，结合第一问结论可知CH垂直AB，即△ACH为直角三角形，用含x的式子表示AH的长度后，借助勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)△BCH是直角三角形，理由如下：
已知BC=10千米，CH=8千米，BH=6千米，
则$CH^2+BH^2=8^2+6^2=64+36=100$，$BC^2=10^2=100$，
因此$CH^2+BH^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$∠ CHB=90°$，故△BCH是直角三角形。
(2)设$AC=AB=x$千米，
由于A、H、B三点共线，因此$AH=AB-BH=(x-6)$千米，
由(1)知$∠ CHB=90°$，故$∠ AHC=90°$，即△ACH为直角三角形，
在Rt△ACH中，根据勾股定理得$AH^2+CH^2=AC^2$，
代入数据得：$(x-6)^2+8^2=x^2$，
展开化简得：$x^2-12x+36+64=x^2$，即$-12x+100=0$，
解得$x=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1)△BCH是直角三角形；(2)原路线AC的长为$\frac{25}{3}$千米。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；方程法求线段长
【点评】
本题是勾股定理应用的常规题型，先通过逆定理判定直角三角形，再结合勾股定理建立方程求解未知线段，解题核心是准确识别直角三角形，合理设元构建等量关系。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 要求风筝的垂直高度CE，观察图形可知CE=CD+DE，其中DE等于小亮的身高1.7米，因此只需先求出CD的长度。由题意可知BD水平、CD垂直BD，△CDB是直角三角形，已知斜边BC和直角边BD的长度，可利用勾股定理计算CD，进而求出CE。
(2) 要判断小红的说法是否正确，风筝沿CD下降7米即CM=7米，此时新的风筝线长度为BM，先算出DM的长度，再利用勾股定理求出BM的长度，计算原有线长BC与BM的差值，将该差值和7米对比即可得出结论。
【解析】
(1) 在$Rt△ CDB$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$（米）
由题意可知$DE=AB=1.7$米，
因此$CE=CD+DE=16+1.7=17.7$（米）。
(2) 不同意小红的说法，理由如下：
如答图，在线段CD上取点M，使$CM=7$米，
则$DM=CD-CM=16-7=9$（米），
由勾股定理得新的风筝线长度：
$BM=\sqrt{MD^2+BD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$（米），
因此需要收线的长度为$BC-BM=20-15=5$（米），即应往回收线5米，不是7米。
【答案】
(1) 风筝的垂直高度CE为17.7米；
(2) 不同意小红的说法，应该往回收线5米。
第11题答图
【知识点】
勾股定理，直角三角形边长计算，实际问题应用
【点评】
本题结合放风筝的生活场景考查勾股定理的实际应用，解题核心是从实际问题中抽象出直角三角形模型，利用勾股定理计算未知边长，第二问需注意不要被惯性思维误导，要通过严谨计算验证结论。
【难度系数】
0.7