1.(2025·宿迁宿城区期中)如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是:一根竹子，原高一丈(一丈=十尺)，折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度.设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为 (
C
)
A.$x^2 + 6^2 = 10^2$
B.$(10 - x)^2 + 6^2 = x^2$
C.$x^2 + 6^2 = (10 - x)^2$
D.$(10 - x)^2 + x^2 = 6^2$
第1题图
答案：1.C
解析：
【分析】
解决这道题首先要将“折竹抵地”的实际问题转化为直角三角形数学模型：第一步明确各边对应长度，已知竹子原高1丈即10尺，设折断处离地面x尺，那么折断的竹梢部分长度为总高度减去折断处高度，也就是(10 - x)尺，这部分是直角三角形的斜边；第二步确定两条直角边，一条是抵地处离竹子底部的距离6尺，另一条就是折断处离地面的垂直高度x尺；第三步根据勾股定理的内容即可列出对应方程，匹配选项得出答案。
【解析】
∵ 1丈=10尺，设折断处离地面的高度为x尺，
∴ 折断的竹梢部分（即直角三角形的斜边）长度为(10 - x)尺，
该直角三角形的两条直角边分别为x尺（垂直高度）、6尺（水平距离）。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入得：
$x^2 + 6^2 = (10 - x)^2$
因此符合的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理应用；实际问题建模；列方程
【点评】
这道题是勾股定理在传统数学问题中的典型基础应用，解题核心是准确对应直角三角形的三边长度，再结合勾股定理列式即可，只要理清各边的数量关系就能快速得分。
【难度系数】
0.8
2.(2025·淮安期中)如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地ABCD，王大伯要从A处到C处去，则沿AC比沿AB→BC少走（
C
）
A.20米
B.30米
C.40米
D.50米
答案：2.C
解析：
【分析】
要解决这个问题，我们需要分别计算出沿A→B→C的路程和沿对角线AC的路程，再求二者的差即可。首先，长方形邻边的长度已知，可直接求出A→B→C的总长度；其次，长方形的内角为直角，因此△ABC是直角三角形，我们可以用勾股定理求出斜边AC的长度，最后将两个路程相减就能得到少走的距离。
【解析】
首先计算沿AB→BC的路程：
$AB + BC = 60 + 80 = 140$（米）
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $∠ B = 90°$，△ABC是直角三角形。
根据勾股定理，在Rt△ABC中：
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
代入数值计算：
$AC^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$
∴ $AC = \sqrt{10000} = 100$（米）
则沿AC比沿AB→BC少走的路程为：
$140 - 100 = 40$（米）
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；长方形的性质；路程差计算
【点评】
这是勾股定理在实际生活中的基础应用题目，解题关键是明确勾股定理的适用条件为直角三角形，结合已知条件分别计算两种路径的长度再作差即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
3.(2025·徐州期中)如图,一根木棍长18 cm,斜放在直径为5 cm的圆形水杯中,水杯的高AC为12 cm,则露出水杯外的部分AD的长至少为
5
cm.
答案：3.5
解析：
【分析】要使露出水杯外的AD长度最短，需保证木棍在水杯内部的长度最长。当木棍斜靠在水杯内，底端接触杯底边缘B、顶端接触杯口边缘A时，杯内木棍长度AB达到最长，此时△ABC为直角三角形，∠ACB是直角。我们可以先通过勾股定理计算出AB的长度，再用木棍总长度减去AB的长度，即可得到AD的最小值。
【解析】解：当木棍在杯内的部分AB最长时，露出的AD最短，此时AB为Rt△ABC的斜边。
已知水杯底面直径BC=5cm，水杯的高AC=12cm，∠ACB=90°，
根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=12^2+5^2=144+25=169$
∴ $AB=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$
∵ 木棍总长度为18cm
∴ $AD=18-13=5\mathrm{cm}$
【答案】5
【知识点】勾股定理的应用，最值问题分析，直角三角形斜边计算
【点评】本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题核心是将“最短露出长度”的实际问题转化为直角三角形求斜边的数学问题，需要学生具备一定的建模思维和基础计算能力。
【难度系数】0.7
4.如图,秋千OA静止的时候,踏板离地高一尺(AC=1尺),将它往前推进十尺(EB=10尺),此时踏板升高,离地五尺(BD=5尺).求秋千绳索OB的长度.
答案：4.解:设秋千绳索OB的长度为x尺,则OA=OB=x尺.
∵AE=EC-AC=4尺,
∴OE=(x-4)尺.
在Rt△OBE中,由勾股定理,得(x-4)²+10²=x²,
解得x=14.5.
故秋千绳索OB的长度为14.5尺.
解析：
【分析】
要计算秋千绳索OB的长度，首先明确绳索长度不变，即OB=OA，可设OB=x尺。观察图形可知△OBE是直角三角形，已知EB=10尺，只需将OE用含x的式子表示，即可利用勾股定理列方程求解。首先由矩形EBDC的性质得EC=BD=5尺，结合AC=1尺可算出AE=4尺，进而得到OE=OA-AE=(x-4)尺，最后代入勾股定理公式解方程即可。
【解析】
设秋千绳索OB的长度为x尺，由绳索长度不变得OA=OB=x尺。
∵ 四边形EBDC是矩形，
∴ EC=BD=5尺，
∴ AE=EC-AC=5-1=4尺，
∴ OE=OA-AE=(x-4)尺。
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，根据勾股定理得：
$OE^2 + EB^2 = OB^2$，
代入得：$(x-4)^2 + 10^2 = x^2$，
展开整理得：$-8x + 116 = 0$，
解得：$x=14.5$。
【答案】
14.5尺
【知识点】
勾股定理；矩形的性质；列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题关键是抓住绳索长度不变的隐含条件，理清各线段的数量关系，将已知量和未知量转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，能有效考查数形结合思想和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.75
5.“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题. 如图，$AC=5$，$DC=1$，$BD=BA$，则$BC=$（
C
）
A.8
B.10
C.12
D.13
答案：5.C
解析：
【分析】
首先观察图形可知△ACB是直角三角形，∠C为直角。题目给出BD=BA，我们可以设BC的长度为x，那么葭的长度BA等于BD，即BD=BC+DC=x+1，也就是BA=x+1。接下来结合勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入已知边长和含x的表达式，列方程求解即可得到BC的长度。
【解析】
设BC的长为$x$，
$\because BD=BA$，$BD=BC+DC=x+1$，
$\therefore BA=x+1$，
又$\because △ ACB$是直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，
将$AC=5$代入得：
$5^2+x^2=(x+1)^2$，
展开得：$25+x^2=x^2+2x+1$，
消去$x^2$后整理得：$2x=24$，
解得$x=12$，即$BC=12$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；列方程解几何问题
【点评】
本题是勾股定理的经典应用题型，依托古代数学问题设置，解题的关键是找准直角三角形各边的数量关系，通过设未知数结合勾股定理列方程求解，能够考查学生对勾股定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
