【分析】
求解网格中两个角的和时，我们可以先设每个小正方形的边长为1，借助勾股定理计算相关线段的长度，再通过构造特殊三角形，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而推导得到两个角的和。思考时要将分散的两个角进行转化，结合等腰直角三角形的锐角性质求解即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
利用勾股定理计算相关边长：我们可以构造包含$∠ BCA$和$∠ DCE$之和的三角形，通过计算边长可证明该三角形为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的锐角为$45°$，即可得到两角之和的度数。
(或者更贴合学段的步骤：我们可通过角度转化发现，$∠ BCA$与$∠ DCE$的和恰好等于等腰直角三角形的一个锐角，结合勾股定理逆定理验证该三角形为等腰直角三角形，因此$∠ BCA + ∠ DCE = 45°$)
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；特殊三角形角度性质
【点评】
本题是网格背景下的角度计算问题，需要灵活运用勾股定理及其逆定理构造特殊三角形求解，对学生的数形结合能力和转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
要判断a、b、c是否为勾股数，需紧扣勾股数的两个判定条件：一是三个数均为正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。首先根据m是大于1的整数，可直接判定a、b、c均为正整数；接下来通过作差法比较三个数的大小，确定最大边；最后计算较小两边的平方和，验证其是否等于最大边的平方，若相等则符合勾股数的定义。
【解析】
解：理由如下：
∵ m表示大于1的整数，$a=2m$，$b=m^2 -1$，$c=m^2 +1$，
∴ $c-a=m^2+1-2m=(m-1)^2＞0$，可得$c＞a$，
又$c-b=(m^2+1)-(m^2-1)=2＞0$，可得$c＞b$，即c是三个数中的最大边，
∵ $a^2+b^2=(2m)^2+(m^2-1)^2=4m^2+m^4-2m^2+1=(m^2+1)^2$，且$c^2=(m^2+1)^2$，
∴ $a^2+b^2=c^2$，满足勾股定理逆定理的条件，
∴ a、b、c为勾股数。
【答案】
a、b、c是勾股数，理由如下：
∵ m表示大于1的整数，$a=2m$，$b=m^2 -1$，$c=m^2 +1$，
∴ $c-a=m^2+1-2m=(m-1)^2＞0$，
∴ $c＞a$。
∵ $a^2+b^2=(2m)^2+(m^2-1)^2=4m^2+m^4-2m^2+1=(m^2+1)^2$，$c^2=(m^2+1)^2$，
∴ $a^2+b^2=c^2$，
∴ a、b、c为勾股数。
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理的逆定理、完全平方公式
【点评】
本题为勾股数判定的基础题型，解题关键是牢记勾股数的两个判定前提，计算过程中要注意完全平方公式的正确展开，避免漏项、错项等运算失误。
【难度系数】
0.8

【分析】
观察可知四边形ABCD是不规则图形，无法直接计算面积，因此考虑通过作辅助线转化为三角形面积的和差问题。首先连接AC，△ACD中已知∠D=90°和两条直角边的长度，可先用勾股定理求出AC的长度；得到AC长度后，计算△ABC三边的平方关系，用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形；若△ABC是直角三角形，这块地的面积就等于Rt△ABC的面积减去Rt△ACD的面积，代入数值计算即可。
【解析】
解：如答图，连接AC。
$\because AD=8\ \mathrm{m},CD=6\ \mathrm{m},∠ D=90°,$
$\therefore AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{m}).$
$\because AB=26\ \mathrm{m},BC=24\ \mathrm{m},$
计算得$10^2+24^2=676=26^2$，即$AC^2+BC^2=AB^2,$
$\therefore △ ABC$为直角三角形，$∠ ACB=90°,$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×10×24-\frac{1}{2}×6×8=96(\mathrm{m}^2).$
【答案】
这块地的面积为$\boxed{96\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型应用题型，通过作辅助线将不规则四边形的面积问题转化为两个直角三角形的面积差问题，解题时需注意先利用勾股定理求边长，再用逆定理判断直角三角形，最后计算面积差，能有效考查对两个定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证明∠ACB=90°，可利用勾股定理的逆定理，只需验证AC²+BC²=AB²即可。已知CD⊥AB，△ACD和△BCD都是直角三角形，可先通过勾股定理分别算出AC²、BC²，再计算AB的平方，对比三者的数量关系就能完成证明。
(2) ①已知∠ACB=90°，根据勾股定理可得AC²+BC²=AB²。结合CD⊥AB的条件，用含CD的式子分别表示AC²和BC²，代入勾股定理的等式列方程求解，舍去负根即可得到CD的长度。
②将①中AD、BD、CD的具体数值替换为字母m、n、k，按照①的推导过程化简，即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because CD⊥ AB,AD=4,BD=1,CD=2,$
$\therefore$在$Rt△ ACD$中，$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+2^2=20$，
在$Rt△ BCD$中，$BC^2=CD^2+BD^2=2^2+1^2=5$，
$\because AB=AD+BD=4+1=5$，$\therefore AB^2=5^2=25$，
$\therefore AC^2+BC^2=20+5=25=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$∠ ACB=90°$。
(2) ①解：设$CD=k$，
$\because CD⊥ AB,AD=3,BD=2$，
$\therefore$在$Rt△ ACD$中，$AC^2=AD^2+CD^2=3^2+k^2=k^2+9$，
在$Rt△ BCD$中，$BC^2=BD^2+CD^2=2^2+k^2=k^2+4$，
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore$在$Rt△ ACB$中，$AC^2+BC^2=AB^2$，
又$\because AB=AD+BD=3+2=5$，$\therefore AB^2=25$，
代入得：$k^2+9+k^2+4=25$，
整理得$2k^2=12$，即$k^2=6$，
$\because$线段长度为正数，$\therefore k=\sqrt{6}$（舍去负值），即$CD$的长为$\sqrt{6}$。
②推导：由$CD⊥ AB$可得$AC^2=m^2+k^2$，$BC^2=n^2+k^2$，
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore AC^2+BC^2=AB^2=(m+n)^2$，
代入得：$m^2+k^2+n^2+k^2=m^2+2mn+n^2$，
化简得$2k^2=2mn$，即$k^2=mn$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ①$CD$的长为$\sqrt{6}$；②$k^2=mn$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；列方程求线段长
【点评】
本题核心考查勾股定理及其逆定理的应用，既可以通过边长关系证明直角，也可以结合直角条件列方程求解线段长度，第二小问得到的$k^2=mn$是直角三角形斜边上的高与斜边被分成的两段线段的重要数量关系，可简化同类题型的计算。
【难度系数】
0.7