【分析】
要判断各组线段能否组成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先找出每个选项中的最长边，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，比较二者是否相等即可判断。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A选项：最长边为$c=6$，计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$6^2=36$，$25≠36$，不能组成直角三角形；
B选项：最长边为$c=25$，计算得$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，$625=625$，可以组成直角三角形；
C选项：最长边为$c=9$，计算得$6^2+8^2=36+64=100$，$9^2=81$，$100≠81$，不能组成直角三角形；
D选项：最长边为$c=7$，计算得$5^2+6^2=25+36=61$，$7^2=49$，$61≠49$，不能组成直角三角形。
综上，符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、乘方运算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是熟练掌握逆定理的判定规则，计算各边平方时注意准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.85

【分析】
要判断一组数是不是勾股数，需牢记勾股数的两个判定条件：第一，三个数都必须是正整数；第二，三个数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方，同时要满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）。解题时我们可以先根据“正整数”的条件快速排除部分选项，再逐一验证剩余选项是否满足平方和的关系即可。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a,b,c$叫做勾股数。
对各选项逐一分析：
A选项：$\sqrt{2}$不是正整数，不符合勾股数的定义，排除；
B选项：$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，且$2^2+2^2=8≠4^2=16$，排除；
C选项：6、8、10均为正整数，且$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，符合勾股数的定义，当选；
D选项：$9^2+12^2=81+144=225≠20^2=400$，不符合勾股数的定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时需注意不要忽略勾股数必须是正整数这个前提条件，避免误选含无理数的选项。
【难度系数】
0.9

【分析】
要判断三条线段能否构成直角三角形，需结合勾股定理的逆定理分析，由于题目未明确第三条线段是直角边还是斜边，因此需要分类讨论：①第三条线段为斜边；②长度为5cm的线段为斜边（长度为3cm的线段短于5cm，不可能作为斜边，无需讨论），再根据勾股定理逆定理分别计算第三条线段的长度，注意边长为正数，舍去负结果。
【解析】
设第三条线段的长为$ x $ cm，分两种情况讨论：
1. 当$ x $为斜边时，根据勾股定理的逆定理可得：
$ x^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34 $
因为线段长度为正数，所以$ x = \sqrt{34} $；
2. 当长度为5cm的线段为斜边时，$ x $为直角边，根据勾股定理的逆定理可得：
$ 5^2 = x^2 + 3^2 $
整理得$ x^2 = 25 - 9 = 16 $
因为线段长度为正数，所以$ x = 4 $。
综上，第三条线段的长为4或$ \sqrt{34} $ cm。
【答案】
4或$\sqrt{34}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查勾股定理逆定理的应用，易错点是未明确斜边时忽略分类讨论，导致漏解。解题时需注意直角三角形中斜边为最长边，因此无需考虑较短的3cm线段为斜边的情况，同时要舍去不符合实际意义的负数值。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明AC⊥CD，本质是证明∠ACD=90°，即△ACD是直角三角形。根据勾股定理的逆定理，只需验证△ACD中两边的平方和等于第三边的平方即可。首先已知AB⊥BC，△ABC为直角三角形，可先通过勾股定理求出AC²的数值，再计算AC²与CD²的和，和AD²对比，若二者相等即可判定△ACD为直角三角形，进而得到AC⊥CD的结论。
【解析】
证明：$\because AB⊥ BC,AB=1,BC=2,$
$\therefore AC^2=AB^2+BC^2=1^2+2^2=5.$
$\because CD=2,AD=3,\therefore AC^2+CD^2=5+2^2=9=3^2,$
$\therefore AD^2=AC^2+CD^2,$
$\therefore ∠ ACD=90°,\therefore AC⊥ CD.$
【答案】
$\because AB⊥ BC,AB=1,BC=2,$
$\therefore AC^2=AB^2+BC^2=1^2+2^2=5.$
$\because CD=2,AD=3,\therefore AC^2+CD^2=5+2^2=9=3^2,$
$\therefore AD^2=AC^2+CD^2,$
$\therefore ∠ ACD=90°,\therefore AC⊥ CD.$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理与逆定理的基础综合应用题，解题核心是先通过勾股定理求解未知边的平方，再利用逆定理判定直角三角形，进而推出垂直关系，注重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断哪个条件不能判定△ABC是直角三角形，需明确直角三角形的两类判定方法：一是从角的角度，三角形有一个内角为90°（可结合三角形内角和为180°推导）；二是从边的角度，三边长满足勾股定理的逆定理，即两条较短边的平方和等于最长边的平方。接下来逐个验证每个选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，三角形内角和为180°，则最大角∠C的度数为$180° × \frac{5}{3+4+5}=75° ＜90°$，因此△ABC不是直角三角形。
选项B：已知a:b:c=5:12:13，设$a=5k$，$b=12k$，$c=13k$（$k＞0$），计算得$(5k)^2+(12k)^2=25k^2+144k^2=169k^2=(13k)^2$，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形。
选项C：对$a^2=(b+c)(b-c)$展开化简，得$a^2=b^2-c^2$，移项可得$a^2+c^2=b^2$，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形。
选项D：已知∠A=∠B+∠C，结合三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C=∠A+∠A=180°，解得∠A=90°，因此△ABC是直角三角形。
综上，只有选项A不能判定△ABC是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，核心是熟练掌握角和边两类判定方法，做题时按照判定规则逐个验证选项即可，注意区分角的比例和边的比例的不同计算逻辑。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先观察△ABC的三边长度，可先通过勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，确定直角后，结合AD是BC边上的中线求出BD的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理计算AD的长度即可。
【解析】
1. 判断△ABC的形状：
已知AB=1，BC=2，AC=√5，计算得：
$AB^2 + BC^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$，$AC^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$
因此$AB^2 + BC^2 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且$∠ B = 90°$。
2. 求BD的长度：
因为AD是BC边上的中线，BC=2，所以$BD = \frac{1}{2}BC = 1$。
3. 计算AD的长度：
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=90°$，AB=1，BD=1，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形中线的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题的突破口是先利用三角形三边的长度关系判定直角三角形，再结合中线性质和勾股定理求解，是勾股定理相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先观察△ABC的三边长，先通过勾股定理的逆定理判断△ABC的形状：计算AC、BC的平方和，与AB的平方对比，若相等则△ABC为直角三角形，且∠ACB为直角。接下来求AB边上的高CD，可利用等面积法：直角三角形的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，两个面积表达式相等即可列方程求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AC=6，BC=8，AB=10
∴$AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$，$AB^2=10^2=100$
∴$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$
又
∵CD是AB边上的高
∴△ABC的面积也可表示为$S=\frac{1}{2}× AB× CD$
代入AB=10得：$\frac{1}{2}×10× CD=24$
解得$CD=24÷5=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题解题的关键是先利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，再借助等面积法建立等式求高，等面积法是求解三角形高线的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先观察△ABD的三边长3、4、5，可先利用勾股定理的逆定理判断△ABD的形状，得到∠A为直角，进而得出点D到AB边的距离为AD的长度；再结合BD是∠ABC的角平分线，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可推出点D到BC的距离等于点D到AB的距离，从而得到结果。
【解析】
在△ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，
∵ $AD^2 + AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$BD^2 = 5^2 = 25$，
∴ $AD^2 + AB^2 = BD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABD是直角三角形，且$∠ A=90°$，即$DA⊥ AB$，
∴ 点D到AB边的距离等于AD的长度，为3。
∵ BD平分$∠ ABC$，点D在BD上，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ 点D到BC的距离 = 点D到AB的距离 = 3。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理的逆定理，角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理确定直角，得到点D到AB的距离，再结合角平分线的性质快速求解，避免了复杂的计算，是角平分线性质和勾股定理逆定理的典型综合应用题。
【难度系数】
0.7