【分析】
解题时先从图①的已知条件入手，明确各部分的数量关系：图①中大正方形的边长是直角三角形的斜边，小正方形的边长是直角三角形两条直角边的差。设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$（$a＜b$），斜边为$c$，根据已知的两个正方形面积可得$c^2$和$(b-a)^2$的值，结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$可求出$ab$的值。再观察图②，其大正方形的边长是直角三角形两条直角边的和，面积为$(a+b)^2$，展开后代入已求数值即可得到结果。
【解析】
设直角三角形的短直角边为$a$，长直角边为$b$，斜边为$c$：
1. 由图①大正方形面积为24，可得$c^2=24$，根据勾股定理可知$a^2 + b^2 = c^2 = 24$；
2. 小正方形面积为4，小正方形边长为$b-a$，因此$(b - a)^2 = 4$，展开得$a^2 - 2ab + b^2 = 4$；
3. 将$a^2 + b^2=24$代入上式，得$24 - 2ab = 4$，解得$2ab = 20$；
4. 图②中大正方形的边长为$a + b$，面积为$(a + b)^2$，展开得$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
5. 代入$a^2 + b^2=24$、$2ab=20$，得$(a + b)^2 = 24 + 20 = 44$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，结合经典的赵爽弦图考查数形结合能力，解题核心是找准图形中边长的对应关系，将几何问题转化为代数变形求解，能很好地考查学生对勾股定理和乘法公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
我们可以通过设参数表示直角三角形的两条直角边，再利用割补法分别表示出两个空白部分的面积，最后对面积差做整式变形，结合已知直角边差的条件即可求出结果。首先设直角三角形短直角边长为a，长直角边长为b，由题意得b-a=3；再分别用a、b表示$S_1$和$S_2$，计算$S_2 - S_1$时利用完全平方公式化简，代入数值即可。
【解析】
解：设直角三角形的短直角边长为$ a $，长直角边长为$ b $，根据题意得$ b - a = 3 $。
1. 求$ S_1 $：
第一个图形中，四个阴影直角三角形的总面积为$ 4 × \frac{1}{2}ab = 2ab $，大长方形的面积为$ 4ab $，因此空白部分面积$ S_1 = 4ab - 2ab = 2ab $。
2. 求$ S_2 $：
第二个图形中，大正方形的边长为$ a + b $，面积为$ (a + b)^2 $，四个阴影直角三角形的总面积仍为$ 2ab $，因此空白部分面积$ S_2 = (a + b)^2 - 2ab = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + b^2 $。
3. 计算$ S_2 - S_1 $：
$ S_2 - S_1 = a^2 + b^2 - 2ab = (b - a)^2 $，将$ b - a = 3 $代入得：$ (b - a)^2 = 3^2 = 9 $。
【答案】
9
【知识点】
割补法求面积，完全平方公式，勾股定理
【点评】
本题结合几何拼图考查面积计算与整式变形的结合，解题的关键是合理设参数表示各部分面积，熟练运用完全平方公式化简求值。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 求各图形面积时，先明确图形特征：△ADC是直角边为a、b的直角三角形，直接用直角三角形面积公式计算；△AB'C'由旋转得到，和△ADC全等，面积相等；先判断△ACC'是等腰直角三角形（旋转得AC=AC'，且∠CAC'=90°），再用对应面积公式计算；四边形CDB'C'既可通过三个三角形面积相加计算，也可看作直角梯形用梯形面积公式计算。
(2) 证明勾股定理时，利用“两种不同方法表示同一图形的面积，结果相等”建立等式，化简后即可推导出$a^2+b^2=c^2$。
(3) 求△ADC面积本质是求ab的值，先将$a+b=7$两边平方，结合勾股定理得到$a^2+b^2=c^2=25$，代入完全平方展开式即可求出ab，再代入三角形面积公式计算。
【解析】
(1) △ADC是直角三角形，直角边$CD=a$，$AD=b$，因此$S_{△ADC}=\frac{1}{2}CD· AD=\frac{1}{2}ab$；
由旋转性质可知△AB'C'≌△ADC，因此$S_{△AB'C'}=S_{△ADC}=\frac{1}{2}ab$；
由旋转可得$AC=AC'$，且$∠CAC'=90°$，即△ACC'为等腰直角三角形，因此$S_{△ACC'}=\frac{1}{2}AC· AC'=\frac{1}{2}c^2$；
$S_{四边形CDB'C'}=S_{△ADC}+S_{△ACC'}+S_{△AB'C'}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab=ab+\frac{1}{2}c^2$，也可通过直角梯形面积公式得$S_{四边形CDB'C'}=\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}(a^2+b^2)+ab$。
(2) 证明：$\because S_{四边形CDB'C'}=ab+\frac{1}{2}c^2$，
又$\because S_{四边形CDB'C'}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，
$\therefore ab+\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，
等式两边同乘2化简得：$a^2+b^2=c^2$。
(3) 解：$\because a+b=7$，$\therefore (a+b)^2=49$，即 $a^2+b^2+2ab=49$，
$\because c=5$，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，$\therefore a^2+b^2=25$，
代入得$25+2ab=49$，解得$ab=12$，
$\therefore S_{△ADC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}ab$；$\frac{1}{2}ab$；$\frac{1}{2}c^2$；$ab+\frac{1}{2}c^2$（其余等价形式也可）
(2) 证明如上，可得$a^2+b^2=c^2$
(3) $6$
【知识点】
勾股定理的证明，完全平方公式，面积计算
【点评】
本题以生活中火柴盒放倒的场景为载体，是勾股定理证明的经典题型，核心考查利用面积法建立等量关系的思路，同时结合完全平方公式求解图形面积，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 先判断四边形ACFD为梯形，回忆梯形面积公式为$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，再对应找到梯形的上底、下底和高：上底$AC=b$，下底$DF=DE+EF=a+b$，高$CF=b$，代入公式即可求出用a、b表示的面积。
(2) 证明勾股定理采用面积法，核心思路是对同一个四边形ABED的面积用两种不同方式拆分计算，得到的面积相等，建立等式后化简即可推导勾股定理。首先连接BD，第一种拆分方式是将四边形ABED拆为$△ ABE$和$△ ADE$计算面积，第二种拆分方式是拆为$△ ADB$和$△ DEB$计算面积，让两个结果相等，整理后即可得到结论。
【解析】
(1) 四边形ACFD是梯形，上底$AC=b$，下底$DF=a+b$，高$CF=b$，根据梯形面积公式可得：
$S_{四边形ACFD}=\frac{1}{2}(AC+DF)· CF=\frac{1}{2}(b+a+b)· b=b^2+\frac{1}{2}ab$。
(2) 连接BD，由图可知$BF=b-a$。
第一种方法计算四边形ABED的面积：
$S_{四边形ABED}=S_{△ ABE}+S_{△ ADE}=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab$。
第二种方法计算四边形ABED的面积：
$S_{四边形ABED}=S_{△ ADB}+S_{△ DEB}=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$。
由于两种方式计算的是同一图形的面积，因此二者相等：
$\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$
等式两边同时乘2得：$b^2+ab=c^2+ab-a^2$
整理后得：$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【答案】
(1) $b^2+\frac{1}{2}ab$；
(2) 证明过程如上，可证得$a^2+b^2=c^2$。
【知识点】
梯形面积计算、面积法应用、勾股定理证明
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题型，利用同一图形面积的不同表示方法建立等量关系推导结论，体现了数形结合的数学思想，能有效考查对面积法的掌握程度和整式化简的运算能力。
【难度系数】
0.7