1.(2025·宿迁泗阳县期中)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形拼接而成.若AB=13,AH=5,则正方形EFGH的边长是 (
C
)
A.5
B.6
C.7
D.8
答案：1.C
解析：
【分析】
解题时先结合赵爽弦图的特征分析：图中四个直角三角形全等，对应边相等。我们可以先在Rt△ABH中利用勾股定理求出BH的长度，再根据全等三角形性质得到AH=BG，最后用BH减去BG就能得到正方形EFGH的边长。
【解析】
∵ 图中四个直角三角形全等，
∴ $AH=BG=5$，且$∠ AHB=90°$，
在$Rt△ ABH$中，$AB=13$，$AH=5$，根据勾股定理可得：
$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$，
则正方形EFGH的边长$HG=BH-BG=12-5=7$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，全等三角形的性质
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为载体，考查勾股定理的基础应用，解题关键是抓住全等三角形对应边相等的性质，结合勾股定理计算对应线段长度，是勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
2.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$D$是$BC$边的中点，$DE⊥ BC$，垂足为$D$，交$AB$于点$E$，连接$CE$，若$AE=3$，$BE=5$，则边$AC$的长为（
B
）
A.3
B.4
C.6
D.8
答案：2.B
解析：
【分析】
解题时先观察图形特征：已知D是BC中点且DE⊥BC，可判断DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质就能得到CE和BE长度相等；再看△AEC是直角三角形，已知AE、CE的长度，直接用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，DE⊥BC
∴DE是线段BC的垂直平分线
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得：$CE=BE=5$
又
∵$∠A=90°$，
∴△AEC是直角三角形
在$Rt△AEC$中，由勾股定理得：$AC^2 + AE^2 = CE^2$
将$AE=3$，$CE=5$代入得：
$AC = \sqrt{CE^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，再结合勾股定理计算未知边长，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.7
3.某次国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，如图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形(阴影部分)无缝隙、不重叠地拼成的一个大正方形ABCD，如果阴影部分的面积是9，直角三角形较短的直角边长为1，则AB的长为
$\sqrt{17}$
。
答案：3.$\sqrt{17}$
解析：
【分析】
本题是赵爽弦图的应用问题，解题可按以下思路推进：首先根据阴影小正方形的面积求出它的边长；再结合全等直角三角形的性质，用较短直角边的长度加小正方形边长，得到直角三角形较长直角边的长度；最后大正方形的边AB是直角三角形的斜边，用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
1. 求小正方形的边长：
已知阴影小正方形的面积是9，根据正方形面积公式，可得小正方形的边长为$\sqrt{9}=3$。
2. 求直角三角形较长直角边的长度：
因为四个直角三角形全等，且直角三角形较短的直角边长为1，观察图形可知，较长直角边的长度 = 较短直角边长度 + 小正方形边长，即较长直角边长为$1+3=4$。
3. 用勾股定理求AB的长度：
大正方形的边AB是直角三角形的斜边，根据勾股定理：
$AB^2=1^2+4^2=1+16=17$
因为边长为正数，所以$AB=\sqrt{17}$。
【答案】
$\sqrt{17}$
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题以我国古代数学成果赵爽弦图为背景，将几何图形性质和勾股定理结合考查，需要准确梳理图形中各线段的数量关系，熟练运用勾股定理计算斜边长度。
【难度系数】
0.75
4.(2025·宿迁宿豫区期中)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.设直角三角形的两条直角边长分别为$a,b(a＞b)$,斜边长为$c$,请利用这个图形解决下列问题:
(1)试说明:$a^2 + b^2 = c^2$;
(2)如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是3,求$(a+b)^2$的值.
答案：4.解:(1)
∵大正方形面积为 $c^2$,每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$,小正方形的面积为$(a-b)^2$,
$\therefore c^2=4× \frac{1}{2}ab+(a-b)^2=2ab+a^2-2ab+b^2$,
$\therefore c^2=a^2+b^2$.
(2)
∵大正方形面积为 13,$\therefore c^2=13$.
$\because a^2+b^2=c^2$,$\therefore a^2+b^2=13$.
∵小正方形的面积为 3,$\therefore (a-b)^2=3$,
$\therefore a^2-2ab+b^2=3$,$\therefore 2ab=10$,
$\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=13+10=23$.
解析：
【分析】
(1) 要证明$a^2+b^2=c^2$，可采用面积法：大正方形的面积有两种表示形式，一是直接用边长$c$计算得$c^2$，二是4个全等直角三角形的面积加中间小正方形的面积，将两种表达式列等式化简即可得到结论。
(2) 求$(a+b)^2$的值，先根据完全平方公式将其展开为$a^2+2ab+b^2$，由大正方形面积可得$a^2+b^2=c^2=13$，再结合小正方形面积得到$(a-b)^2=3$，展开后求出$2ab$的值，代入展开式即可算出结果。
【解析】
(1) 由图可知，大正方形边长为$c$，面积为$c^2$；每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形总面积为$4×\frac{1}{2}ab$；中间小正方形的边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$。
根据大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，可得：
$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(a-b)^2$
化简右侧：$2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$
因此$c^2=a^2+b^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
(2) 已知大正方形面积为13，即$c^2=13$，由(1)的结论得$a^2+b^2=13$。
已知小正方形面积为3，即$(a-b)^2=3$，展开得：
$a^2-2ab+b^2=3$
将$a^2+b^2=13$代入上式，得$13-2ab=3$，解得$2ab=10$。
再展开$(a+b)^2$：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=13+10=23$
【答案】
(1) 证明成立，$a^2 + b^2 = c^2$；
(2) $\boxed{23}$
【知识点】
勾股定理的证明、完全平方公式、面积法计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，既考查了勾股定理的推导逻辑，也考查了完全平方公式的变形应用，解题核心是抓住图形中各部分面积的等量关系，建立代数等式求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图所示的图形中能够验证勾股定理的有 （
A
）
① ②
④
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案：5.A
解析：
【分析】
验证勾股定理的核心思路是面积法：对同一个图形，用两种不同的方式表示其面积，得到关于a、b、c的等式，化简后若能推出$a^2+b^2=c^2$，即可验证勾股定理，我们只需逐个分析4个图形是否满足该条件即可。
【解析】
我们依次对4个图形进行推导：
1. 图形①：大正方形边长为$a+b$，面积可表示为$(a+b)^2$；同时大正方形面积也等于边长为c的正方形面积加4个直角边为a、b的直角三角形面积，即$c^2 + 4×\frac{1}{2}ab = c^2 + 2ab$。
列等式：$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$，展开左边得$a^2+2ab+b^2 = c^2+2ab$，消去2ab后得$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
2. 图形②：大正方形边长为c，面积可表示为$c^2$；同时大正方形面积也等于边长为$(b-a)$的小正方形面积加4个直角边为a、b的直角三角形面积，即$(b-a)^2 + 4×\frac{1}{2}ab = (b-a)^2 + 2ab$。
列等式：$c^2 = (b-a)^2 + 2ab$，展开右边得$c^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 2ab$，化简得$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
3. 图形③：该图形为梯形，上底a、下底b、高$a+b$，面积可表示为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b) = \frac{1}{2}(a+b)^2$；同时梯形面积也等于2个直角边为a、b的直角三角形面积加1个直角边为c的等腰直角三角形面积，即$2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$。
列等式：$\frac{1}{2}(a+b)^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$，两边同乘2得$(a+b)^2 = 2ab + c^2$，展开化简后得$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
4. 图形④：通过面积割补的方法，对图形面积用两种方式表示后建立等式，化简后同样可得到$a^2+b^2=c^2$，可以验证勾股定理。
综上，4个图形都能验证勾股定理。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的证明；面积法；整式的化简
【点评】
本题考查勾股定理的验证，核心是利用面积的不同表示形式建立等量关系，解题的关键是熟练掌握面积法的应用，这类题目能有效培养数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
