【分析】
首先由公路AC、BC互相垂直，可知△ABC是直角三角形，已知两条直角边AC、BC的长度，第一步可根据勾股定理计算出斜边AB的长度；再结合M是AB中点的条件，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出M、C两点的距离。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，△ABC为直角三角形。
在Rt△ABC中，AC=10km，BC=24km，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26\mathrm{km}$
∵M是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×26=13\mathrm{km}$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是勾股定理与直角三角形性质的基础综合应用题，解题的关键是先求出斜边AB的长度，再结合斜边中线的性质得到CM的长度，考查对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题属于折叠类几何计算题，解题可按以下思路展开：首先回忆折叠的性质，折叠前后对应边相等，因此可得BE=AE；其次观察到△BCE是直角三角形，可借助勾股定理建立等量关系；最后设未知数CE为x，将相关线段用含x的式子表示，代入勾股定理公式解方程即可得到CE的长度。
【解析】
解：设CE的长为x，
∵AC=8，
∴AE=AC - CE = 8 - x，
由折叠的性质可知，折叠后点A与点B重合，故BE=AE=8 - x，
在Rt△BCE中，∠C=90°，根据勾股定理可得：
$BC^2 + CE^2 = BE^2$，
将BC=4，CE=x，BE=8-x代入得：
$4^2 + x^2 = (8 - x)^2$，
展开计算：$16 + x^2 = 64 - 16x + x^2$，
消去$x^2$得：$16 = 64 - 16x$，
移项解得：$16x = 48$，$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，方程思想
【点评】
本题将折叠变换与勾股定理结合考查，解题的核心是利用折叠的性质得到相等的线段，再通过勾股定理构造方程求解，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题第一步先观察已知等式，算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数相加得0，说明每个非负数都为0，据此可先求出a、b的长度。接下来因为题目仅说明是直角三角形的两条边长，未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要分类讨论：①已知两条边均为直角边；②较长的已知边为斜边，较短边为直角边（斜边是直角三角形最长边，因此长度为3的边不可能为斜边），最后结合勾股定理分别计算第三边长度即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a-3}≥0$，$|4-b|≥0$，且$\sqrt{a-3} + |4 - b| = 0$
∴$\sqrt{a-3}=0$，$|4-b|=0$
解得$a=3$，$b=4$
分两种情况讨论第三边长度：
1. 当$a$、$b$均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：
第三边长=$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
2. 当$b$为斜边，$a$为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得：
第三边长=$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
（若假设$a$为斜边，$3＜4$，不符合斜边最长的性质，故舍去该情况）
综上，第三条边的长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
非负数的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认已知的两条边都是直角边从而漏解，解题时要注意审清题意，结合直角三角形斜边最长的隐含条件排除不合理的情况，做到不重不漏。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题分两步思考：第一步作图，根据勾股定理，网格中斜线段长度可通过构造直角三角形计算，$\sqrt{5}$是直角边为1、2的直角三角形的斜边长，$\sqrt{2}$是直角边为1、1的直角三角形的斜边长，据此找到满足边长要求的三个格点A、B、C即可画出三角形。第二步求面积，△ABC不是规则直角三角形，直接用底乘高计算较繁琐，因此选用割补法，将三角形放入边长为2的正方形中，用正方形面积减去周围3个多余直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
1. 作图：由勾股定理可得$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，按照该长度规律在网格中选取格点A、B、C，使AB=AC=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{2}$，即可画出符合要求的△ABC。
2. 面积计算：使用割补法，将△ABC置于边长为2的正方形中，用正方形面积减去周围三个直角三角形的面积：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=2×2 - \frac{1}{2}×2×1 - \frac{1}{2}×2×1 - \frac{1}{2}×1×1\\&=4-1-1-\frac{1}{2}\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
△ABC如答图所示，所画三角形的面积为$\frac{3}{2}$。
【知识点】
勾股定理；格点作图；割补法求面积
【点评】
本题结合网格考查勾股定理的应用和不规则图形面积的计算，解题核心是利用勾股定理快速确定格点间线段长度，通过割补法简化面积计算步骤，避免了求解三角形高的繁琐过程。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求Rt△ABC的面积，已知∠C为直角，所以面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$，只需算出$ab$的值即可，无需分别求出$a$、$b$的具体数值。已知斜边$c=5$，根据勾股定理可得$a^2+b^2=c^2=25$，又已知$a+b=7$，对$a+b=7$两边平方后用完全平方公式展开，将$a^2+b^2$整体代入就能求出$ab$的值，进而算出面积。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，$∠ C=90°$，
∴ 根据勾股定理得$a^2+b^2=c^2=5^2=25$，
∵ $a+b=7$，
∴ 将等式两边平方得：$(a+b)^2=7^2=49$，
由完全平方公式展开得$a^2+2ab+b^2=49$，
把$a^2+b^2=25$代入上式，得$25+2ab=49$，
解得$2ab=24$，即$ab=12$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题时无需单独求解两条直角边的长度，利用整体代换的思想结合完全平方公式即可快速求出$ab$的值，这种整体求值的思路在代数几何综合题中十分常用。
【难度系数】
0.7