10. 在数学学习中，我们必须记住常用的三个无理数$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$和$π$的近似值，它们精确到千分位的值分别为$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$π\approx3.142$。不使用计算器，求下列各式的值。
(1)$π-\frac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{3}+\frac{1}{3}$（精确到0.01）；
(2)$3\sqrt{2}-\sqrt{3}+2π-1$（精确到个位）。
答案：10.解:(1)原式≈3.142−1.414÷2+2×1.732+0.333=6.232≈6.23.
(2)原式≈3×1.414−1.732+2×3.142−1=7.794≈8.
解析：
【分析】
这是无理数的近似运算题，解题思路如下：①先明确题目给出的$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$π$精确到千分位的近似值，以及每道小题最终要求的精确程度；②将式中的无理数替换为对应的近似值，同时将分数$\frac{1}{3}$也取到千分位的近似值，保证中间运算精度足够，避免最终结果出现误差；③按照有理数混合运算“先乘除、后加减”的顺序计算出中间结果；④最后按照要求的精度对中间结果四舍五入，得到最终答案。
【解析】
(1) 代入已知近似值计算：
原式$\approx 3.142 - 1.414÷2 + 2×1.732 + 0.333$
先计算乘除项：$1.414÷2=0.707$，$2×1.732=3.464$
再计算加减项：$3.142 - 0.707 + 3.464 + 0.333 = 6.232$
要求精确到0.01，对千分位的2四舍五入，得$6.23$。
(2) 代入已知近似值计算：
原式$\approx 3×1.414 - 1.732 + 2×3.142 - 1$
先计算乘除项：$3×1.414=4.242$，$2×3.142=6.284$
再计算加减项：$4.242 - 1.732 + 6.284 - 1 = 7.794$
要求精确到个位，对十分位的7四舍五入，得$8$。
【答案】
(1) $\boxed{6.23}$；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
无理数近似计算，有理数混合运算，近似数取值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是利用已知的常用无理数近似值，按照有理数运算规则计算，需注意中间运算保留的精度要高于最终要求的精度，避免四舍五入带来的误差，熟练掌握运算顺序和四舍五入规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
11.车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到2.60 m，一根为2.56 m，另一根为2.62 m，怎么不合格？”
(1)图纸要求精确到2.60 m，原轴长x的取值范围是多少？
(2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？
答案：11.解:(1)原轴长x的取值范围是2.595 m≤x＜2.605 m.
(2)小王加工的轴不合格.
解析：
【分析】
解决本题首先要明确近似数的精确度规则：精确到2.60m即精确到百分位，需结合四舍五入法反推原数的取值范围。第一问分两种情况思考：①“四舍”得到2.60时，原数千分位数字小于5，最大不超过2.605；②“五入”得到2.60时，原数千分位数字大于等于5，最小为2.595，即可得到合格轴长的范围。第二问将小王加工的两根轴的长度和合格范围对比，判断是否符合要求即可。
【解析】
(1) 图纸要求精确到2.60m，也就是精确到百分位（0.01m），根据四舍五入的规则：
当原轴长$ x $的千分位数字≥5时，向百分位进1得到2.60，此时$ x $的最小值为2.595m；
当原轴长$ x $的千分位数字＜5时，舍去千分位及后面的数位得到2.60，此时$ x $要小于2.605m；
因此原轴长$ x $的取值范围是$ 2.595\ \mathrm{m} ≤ x ＜ 2.605\ \mathrm{m} $。
(2) 对比小王加工的两根轴的长度：2.56m小于2.595m，2.62m大于2.605m，都不在合格的取值范围内，因此是小王加工的轴不合格。
【答案】
(1) $ 2.595\ \mathrm{m} ≤ x ＜ 2.605\ \mathrm{m} $
(2) 小王加工的轴不合格
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 四舍五入法
【点评】
本题结合生产实际考查近似数的应用，解题关键是明确不同精确度的近似数对应的取值范围，注意2.6和2.60的精确度不同，对应的取值范围也存在差异，避免混淆概念导致判断错误。
【难度系数】
0.7
12.小丽和小明在讨论下面的问题.小丽:“如果把7498精确到千位,就会得到$7×10^{3}$.”小明:“不,我有另外一种解答方法,可以得到不同的答案.首先,将7498精确到百位,得到7500,接着再把7500精确到千位,就得到8000.”你怎样评价小丽和小明的说法？
答案：12.解:小丽的说法正确,小明的说法错误.将7498精确到千位,只要将百位上的数字四舍五入即可.
解析：
【分析】
要判断两人说法是否正确，首先明确取近似数精确到指定数位的规则：精确到某一位时，只需对该数位的下一位数字直接进行四舍五入，不需要分步近似。本题要求精确到千位，只需观察千位的下一位即百位上的数字判断即可，无需先近似到更低数位再二次近似，结合两人的做法就能判断对错。
【解析】
小丽的说法正确，小明的说法错误。
根据取近似数的规则，将一个数精确到指定数位时，直接对该数位的下一位数字做四舍五入处理，不需要逐次近似。
7498要精确到千位，千位数字是7，它的下一位即百位上的数字是4，因为4＜5，所以直接舍去百位及后面的所有数字，得到近似数$7×10^{3}$，因此小丽的做法符合规则，说法正确。
小明先将7498精确到百位得到7500，再将7500精确到千位的做法不符合精确到千位的取数规则，逐次近似会产生误差，因此小明的说法错误。
【答案】
小丽的说法正确,小明的说法错误.将7498精确到千位,只要将百位上的数字四舍五入即可.
【知识点】
四舍五入取近似数，近似数的精确度
【点评】
本题的易错点是误以为可以通过逐次近似得到指定精度的近似数，解题时要牢记精确到某一位时仅需对其下一位数字四舍五入，避免分步近似导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
13. 我们把由四舍五入法对非负有理数 $ x $ 精确到个位的值记为 $ ＜ x ＞ $. 如 $ ＜ 0 ＞ = ＜ 0.48 ＞ = 0, ＜ 0.64 ＞ = ＜ 1.493 ＞ = 1, ＜ 2 ＞ = 2, ＜ 2.5 ＞ = ＜ 3.12 ＞ = 3, ··· $
解决下列问题：
(1)填空：①若 $ ＜ x ＞ = 6 $,则 $ x $ 的取值范围是
$5.5≤ x＜6.5$
；
②若 $ ＜ x ＞ = \frac{4}{3}x $,则 $ x $ 的值是
$0,\frac{3}{4},\frac{3}{2}$
.
(2)若 $ m $ 为正整数,求证：$ ＜ x+m ＞ = ＜ x ＞ + m $ 恒成立.
答案：13.(1)①$5.5≤ x＜6.5$ ②$0,\frac{3}{4},\frac{3}{2}$
(2)证明:设$x=n+a$,其中$n$为$x$的整数部分($n$为非负整数),$a$为$x$的小数部分($0≤ a＜1$).分两种情况:
①当$0≤ a＜\frac{1}{2}$时,有$＜x＞=n$.
$\because x+m=(n+m)+a$,
这时$n+m$为$x+m$的整数部分,$a$为$x+m$的小数部分,$\therefore ＜x+m＞=n+m$.
又$＜x＞+m=n+m$,$\therefore ＜x+m＞=＜x＞+m$.
②当$\frac{1}{2}≤ a＜1$时,有$＜x＞=n+1$.
$\because x+m=(n+m)+a$,
这时$n+m$为$x+m$的整数部分,$a$为$x+m$的小数部分,$\therefore ＜x+m＞=n+m+1$.
又$＜x＞+m=n+1+m=n+m+1$,
$\therefore ＜x+m＞=＜x＞+m$.
综上所述,$＜x+m＞=＜x＞+m$恒成立.
解析：
【分析】
本题是结合四舍五入规则的新定义题型，解题需紧扣$＜x＞$表示非负有理数$x$精确到个位的取值规则展开：
(1)① 若$＜x＞=6$，根据四舍五入精确到个位的规则，“五入”得到6时$x$最小为5.5，“四舍”得到6时$x$最大小于6.5，即可确定$x$的取值范围；
② 已知$＜x＞$是整数，因此$\frac{4}{3}x$必为非负整数，可设$\frac{4}{3}x=k$（$k$为非负整数），则$x=\frac{3k}{4}$，再结合$＜x＞=k$对应的取值范围$k-0.5≤ x ＜k+0.5$，代入解不等式求出符合条件的$k$，即可得到$x$的值；
(2) 证明恒等式可将$x$拆分为整数部分加小数部分的形式，分小数部分小于0.5（四舍）和大于等于0.5（五入）两种情况，分别计算$＜x+m＞$和$＜x＞+m$的值，验证二者相等即可。
【解析】
(1)① 根据四舍五入精确到个位的规则：
“五入”得到6时，$x$的最小值为5.5；“四舍”得到6时，$x$的最大值小于6.5，因此$x$的取值范围是$5.5≤ x ＜6.5$。
② $\because ＜x＞$为整数，$\therefore \frac{4}{3}x$是非负整数，设$\frac{4}{3}x=k$（$k$为非负整数），则$x=\frac{3k}{4}$。
结合$＜x＞=k$的取值规则，可得不等式：$k-0.5≤ \frac{3k}{4} ＜k+0.5$
解左侧不等式：$k-0.5≤ \frac{3k}{4} \implies 4k-2≤ 3k \implies k≤ 2$
解右侧不等式：$\frac{3k}{4} ＜k+0.5 \implies 3k＜4k+2 \implies k＞-2$
又$k$为非负整数，$\therefore k=0、1、2$，对应$x$的值为$0、\frac{3}{4}、\frac{3}{2}$。
(2) 证明：设$x=n+a$，其中$n$为$x$的非负整数部分，$a$为$x$的小数部分（$0≤ a＜1$），分两种情况讨论：
① 当$0≤ a＜0.5$时，$＜x＞=n$
$\because x+m=(n+m)+a$，此时$n+m$是$x+m$的整数部分，$a$是小数部分，$\therefore ＜x+m＞=n+m$
又$＜x＞+m=n+m$，故$＜x+m＞=＜x＞+m$。
② 当$0.5≤ a＜1$时，$＜x＞=n+1$
$\because x+m=(n+m)+a$，此时$n+m$是$x+m$的整数部分，$a$是小数部分，$\therefore ＜x+m＞=n+m+1$
又$＜x＞+m=(n+1)+m=n+m+1$，故$＜x+m＞=＜x＞+m$。
综上，两种情况下均满足$＜x+m＞=＜x＞+m$，因此该等式恒成立。
【答案】
(1)① $5.5≤ x＜6.5$；② $0,\frac{3}{4},\frac{3}{2}$
(2) 证明见上述解析
【知识点】
新定义运算，四舍五入法，不等式求解
【点评】
本题以新定义记号为载体，核心考查对四舍五入近似规则的理解，解题需要运用分类讨论思想、不等式求解方法，证明题需要通过拆分整数和小数部分分情况验证，能较好地考查逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
