9.计算.
(1)$\sqrt{\dfrac{9}{64}}$；
(2)$\sqrt{1+\dfrac{24}{25}}$；
(3)$\sqrt{37^2 - 12^2}$；
(4)$-\sqrt{3\dfrac{1}{16}} + \sqrt{4}$；
(5)$\sqrt{\dfrac{4}{9}} + \sqrt{\dfrac{1}{9}} - \sqrt{1\dfrac{9}{16}} - \sqrt{\dfrac{9}{16}}$.
答案：9.(1)$\dfrac{3}{8}$ (2)$\dfrac{7}{5}$ (3)35 (4)$\dfrac{1}{4}$ (5)$-1$
解析：
【分析】
这组计算题围绕算术平方根的运算展开，解题思路如下：1. 遇到根号下是分数的，先将分数化简为分子分母均为平方数的形式，再分别开方；2. 根号下是加减运算的，先计算根号内的结果，能运用平方差公式简便计算的优先用公式简化运算；3. 遇到带分数先转化为假分数再计算；4. 最后按照实数的加减运算法则合并结果即可，注意算术平方根的结果为非负数。
【解析】
(1) 计算$\sqrt{\dfrac{9}{64}}$：
根据算术平方根的定义，$(\dfrac{3}{8})^2=\dfrac{9}{64}$，因此$\sqrt{\dfrac{9}{64}}=\dfrac{3}{8}$。
(2) 计算$\sqrt{1+\dfrac{24}{25}}$：
先计算根号内的加法：$1+\dfrac{24}{25}=\dfrac{49}{25}$，
由于$(\dfrac{7}{5})^2=\dfrac{49}{25}$，因此$\sqrt{1+\dfrac{24}{25}}=\sqrt{\dfrac{49}{25}}=\dfrac{7}{5}$。
(3) 计算$\sqrt{37^2 - 12^2}$：
利用平方差公式化简根号内的式子：$37^2-12^2=(37+12)(37-12)=49×25$，
因此$\sqrt{37^2 - 12^2}=\sqrt{49×25}=\sqrt{49}×\sqrt{25}=7×5=35$。
(4) 计算$-\sqrt{3\dfrac{1}{16}} + \sqrt{4}$：
先将带分数化为假分数：$3\dfrac{1}{16}=\dfrac{49}{16}$，
分别开方得：$-\sqrt{\dfrac{49}{16}}=-\dfrac{7}{4}$，$\sqrt{4}=2$，
再计算加减：$-\dfrac{7}{4}+2=-\dfrac{7}{4}+\dfrac{8}{4}=\dfrac{1}{4}$。
(5) 计算$\sqrt{\dfrac{4}{9}} + \sqrt{\dfrac{1}{9}} - \sqrt{1\dfrac{9}{16}} - \sqrt{\dfrac{9}{16}}$：
先将带分数化为假分数：$1\dfrac{9}{16}=\dfrac{25}{16}$，
分别开方得：$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$，$\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}$，$\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4}\\&=1-(\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4})\\&=1-2\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
(1)$\dfrac{3}{8}$ (2)$\dfrac{7}{5}$ (3)35 (4)$\dfrac{1}{4}$ (5)$-1$
【知识点】
算术平方根运算、平方差公式、实数加减运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题，重点考查对算术平方根定义的理解和基础运算能力，计算时注意先处理带分数，可运用公式简化运算，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
10.若$a$是$(-2)^2$的算术平方根，$b$是$\sqrt{16}$的算术平方根，求$a^2+3b$的算术平方根.
答案：10.解:由题意知 $a=2,b=2$,
$\therefore a^2+3b=4+6=10,\therefore a^2+3b$ 的算术平方根为$\sqrt{10}$.
解析：
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的定义：非负数的正的平方根叫做它的算术平方根。第一步先计算$(-2)^2$的结果，再求其算术平方根得到$a$的值；第二步先化简$\sqrt{16}$得到具体数值，再求这个数值的算术平方根得到$b$的值，注意此处不要直接把$\sqrt{16}$的结果当做$b$；第三步将$a$、$b$代入$a^2+3b$计算出代数式的值；最后求该值的算术平方根即可得到答案。
【解析】
解：先求$a$的值：
$\because (-2)^2=4$，4的算术平方根为2，
$\therefore a=2$；
再求$b$的值：
$\because \sqrt{16}=4$，4的算术平方根为2，
$\therefore b=2$；
代入代数式计算：
$a^2+3b=2^2+3×2=4+6=10$；
10的算术平方根为$\sqrt{10}$，即$a^2+3b$的算术平方根是$\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
算术平方根的定义，乘方运算，代数式求值
【点评】
本题核心考查算术平方根的概念，易错点是计算$b$时容易忽略需要先化简$\sqrt{16}$再求其算术平方根，只要掌握算术平方根的非负性和运算顺序，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
11.已知$|3-x|=x-3$，$\sqrt{(x-10)^2}=10-x$，化简：$|12-x|+\sqrt{(x-2)^2}$。
答案：11.解:$\because |3-x|=x-3,\sqrt{(x-10)^2}=10-x$,
$\therefore 3-x≤ 0,x-10≤ 0,即 3≤ x≤ 10$,
$\therefore 原式=12-x+x-2=10$.
解析：
【分析】
解题第一步要回忆相关性质推导x的取值范围：一是绝对值的性质，若|a|=-a，则a≤0；二是二次根式的性质，√(a²)=|a|，若√(a²)=-a，则a≤0。先根据题目给出的两个已知等式求出x的取值区间，再根据x的区间判断待化简式中12-x、x-2的正负性，最后去掉绝对值和根号合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：$\because |3-x|=x-3$，$\sqrt{(x-10)^2}=10-x$，
根据绝对值的性质可得$3-x\le 0$，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$可得$x-10\le 0$，
解得$3\le x\le 10$。
$\therefore 12-x＞0$，$x-2＞0$，
$\therefore |12-x|+\sqrt{(x-2)^2}$
$=|12-x|+|x-2|$
$=12-x+(x-2)$
$=12-x+x-2$
$=10$
【答案】
$10$
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的性质；代数式化简
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是先根据已知条件确定未知数的取值范围，再结合绝对值、二次根式的性质去掉运算符号化简，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
12.我们知道,负数没有算术平方根,但对于三个互不相等的负整数,若两两乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“完美组合数”.例如,−9,−4,−1这三个数,$\sqrt{(-9)×(-4)}=6$,$\sqrt{(-9)×(-1)}=3$,$\sqrt{(-4)×(-1)}=2$,其结果6,3,2都是整数,所以−9,−4,−1这三个数称为“完美组合数”.
(1)−18,−8,−2这三个数是“完美组合数”吗?请说明理由;
(2)若−3,m,−12这三个数是“完美组合数”,其中两个数乘积的算术平方根为12,求m的值.
答案：12.解:(1)$-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”.理由：
$\because \sqrt{(-18)×(-8)}=12,\sqrt{(-18)×(-2)}=6$,
$\sqrt{(-8)×(-2)}=4,而 12,6,4 都是整数$,
$\therefore -18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”.
(2)$\because$其中两个数乘积的算术平方根为 12,
$\therefore$这两个数的乘积为 144.
当$-3m=144$时,$m=-48$.
$\because -48×(-12)=4×12^2=24^2$,
$\therefore \sqrt{(-48)×(-12)}=24,此时符合题意.$
当$-12m=144$时,$m=-12,不符合题意.$
综上,$m$的值为$-48$.
解析：
【分析】
(1) 判断三个数是否为“完美组合数”，只需严格依据定义：计算三个数两两乘积的算术平方根，若所有结果均为整数，则符合要求。
(2) 已知两个数乘积的算术平方根为12，根据算术平方根的性质，可推出这两个数的乘积为$12^2=144$，分两种情况讨论：一是乘积为144的两个数为-3和m，二是乘积为144的两个数为-12和m。求出m后需验证：三个数为互不相等的负整数，且剩余两两乘积的算术平方根也为整数，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1) $-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”，理由如下：
分别计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-18)×(-8)}=\sqrt{144}=12$，
$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，
$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，
∵12、6、4都是整数，符合“完美组合数”的定义，
∴$-18,-8,-2$是“完美组合数”。
(2)
∵两个数乘积的算术平方根为12，
∴这两个数的乘积为$12^2=144$，分情况讨论：
① 当$-3m=144$时，解得$m=-48$，
此时三个数为-3、-48、-12，互不相等，验证剩余乘积：$\sqrt{(-48)×(-12)}=\sqrt{576}=24$，是整数，符合题意；
② 当$-12m=144$时，解得$m=-12$，与题中“三个互不相等的负整数”要求矛盾，舍去。
综上，$m$的值为$-48$。
【答案】
(1) $-18,-8,-2$是“完美组合数”；
(2) $m=-48$
【知识点】
算术平方根运算，新定义理解，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查算术平方根的相关计算，解题关键是准确把握新定义的判定规则，分情况讨论时要注意验证结果是否符合所有限定条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
