【分析】
(1) 本问结合折叠性质和平行线性质分析：折叠后∠1=∠2，结合长方形对边平行的内错角相等关系，可推导△ABC的两个内角相等，即可判断三角形形状。
(2) 要证△AHG是等边三角形，先利用M是GH中点、AM⊥GH的条件，通过SAS证明△AMG≌△AMH得到AG=AH，证得△AHG为等腰三角形；再结合折叠性质推导∠GAH=60°，即可判定等腰三角形为等边三角形。
(3) 要证△HBC是等边三角形，结合正方形四边相等的性质，先由折叠得BH=AB=BC，再根据EF是BC的垂直平分线得HB=HC，最终得到三边相等，即可判定为等边三角形。
(4) 要比较∠C和∠B的大小，可通过折叠将∠C转化到AB边上，利用全等三角形性质得到与∠C相等的角，再结合三角形外角大于不相邻内角的性质，即可证明∠C＞∠B。
【解析】
(1) 沿AB折叠后∠1=∠2，长方形对边平行可得∠2=∠CAB，因此∠1=∠CAB，故AC=BC，△ABC为等腰三角形。
(2) 已知M是GH中点，故MG=MH，由折叠性质得∠AMG=∠AMH=90°。
在△AMG和△AMH中：
$\{\begin{array}{l}AM=AM \\∠ AMG=∠ AMH \\MG=MH\end{array} $
∴△AMG≌△AMH（SAS），得AG=AH，∠GAM=∠HAM。
由折叠性质得∠DAG=∠GAM，又∠DAB=90°，故∠DAG=∠GAM=∠MAH=$\frac{1}{3}$∠DAB=30°，因此∠GAH=60°。
结合AG=AH，可证△AHG是等边三角形。
(3) 由折叠性质得BH=AB，
∵正方形ABCD中AB=BC，
∴BH=BC。
又EF是正方形对折的折痕，即EF是BC的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，故HC=BH。
因此BH=HC=BC，可证△HBC是等边三角形。
(4) 将△ABC沿过点A的直线折叠，使点C落在边AB上的点C'处，折痕交BC于点D，由折叠性质得△ACD≌△AC'D，故∠AC'D=∠C。
∵∠AC'D是△BC'D的外角，根据三角形外角性质，外角大于任意不相邻内角，故∠AC'D＞∠B，因此∠C＞∠B。
【答案】
(1) 等腰
(2) 解:在△AMG 和△AMH 中,AM=AM,∠AMG=∠AMH=90°,MG=MH,
∴△AMG≌△AMH(SAS),
∴AG=AH,∠GAM=∠HAM.
∵∠DAG=∠GAM=∠MAH=1/3∠DAB=30°,
∴∠GAH=60°,
∴△AHG 是一个等边三角形.
(3) 解:由折叠得 BH=AB=BC,
由折叠得 EF 为 BC 的垂直平分线,所以 HC=BH,
所以 BH=HC=BC,所以△HBC 是等边三角形.
(4) 解:思路:如答图,将△ABC 沿过点A的直线折叠,使点 C落在边 AB 上,折痕交 BC 于点 D.

可得△ACD≌△AC'D,
∴∠AC'D=∠C.
∵∠AC'D＞∠B,
∴∠C＞∠B.
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以折纸操作作为背景，将实践操作与几何推理相结合，考查多个基础几何知识点的应用，解题时需要准确把握折叠前后的等量关系，结合三角形、特殊四边形的性质逐步推导，能够很好地锻炼逻辑推理能力和几何分析能力。
【难度系数】
0.6